О дифференциальных уравнениях, порожденных коммутирующими линейными дифференциальными операторами



Скачать 110.31 Kb.
НазваниеО дифференциальных уравнениях, порожденных коммутирующими линейными дифференциальными операторами
Дата28.03.2013
Размер110.31 Kb.
ТипДокументы
источник
1. /14.DOCО дифференциальных уравнениях, порожденных коммутирующими линейными дифференциальными операторами

2000 г. №5

Труды ФОРА

О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ, ПОРОЖДЕННЫХ КОММУТИРУЮЩИМИ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ


С.К. Куижева

Майкопский государственный технологический институт, г. Майкоп

Рассматриваются дифференциальные уравнения, порожденные линейными дифференциальными операторами первого и второго порядков.

В этой статье рассматриваются дифференциальные уравнения, порожденные коммутирующими линейными дифференциальными операторами первого и второго порядка.

Рассмотрим гладкие функции и со значениями в кольце дифференциальных операторов. Введем некоторые определения.

Определение 1:Уравнение LtPs = [P, L] называется уравнением нулевой кривизны.

Определение 2:Уравнение вида называют стационарным уравнением нулевой кривизны.

Определение 3.: Уравнения вида

,

где f некоторая функция от своих аргументов, будем называть дифференциальными уравнениями, порожденными линейными операторами P и L.

При этом, определенные выше уравнения нулевой кривизны являются частными случаями уравнений, порожденных линейными операторами.

Известно [1], что удачно подобранные линейные дифференциальные операторы первого порядка позволяют классифицировать дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. При этом гиперболический, параболический и эллиптический случаи регулируются знаком неизвестной функции и ее принадлежностью R или С.


1. Рассмотрим дифференциальные операторы второго порядка.

,

,

где a2, b2, a1, b1, a0, c2, m2, m1, c1, b0 – некоторые гладкие функции.

Условие [P,L]=0 равносильно системе уравнений:

a2c2x – c2a2x= 0, b2m2y – m2b2y= 0, b2c2y – m2a2y= 0, a2m2x – c2b2x= 0, b2m1y – m2a1y= c2b1x – a2c1x, (1)

a2c2xx +b2c2yy+a1c2x+b1c2y+2a2m1x =c2a2xx+2c2a1x+m2a2yy+m1a2x+c1a2y, (2)

a2m2xx +b2m2yy+a1m2x+b1m2y+2b2c1y =c2b2xx+2m2b1y+m2b2yy+m1b2x+c1b2y (3)

a2m1xx +b2m1yy+a1m1x+b1m1y+2a2b0x =c2a1xx+2c2a0x+m2a1yy+m1a1x+c1a1y (4)

a2c1xx +b2c1yy+a1c1x+b1c1y+2b2b0y =c2b1xx+2m2a0y+m2b1yy+m1b1x+c1b1y. (5)

После преобразования системы находим:

c2 = a2k1(y), m2 = b2k2(x), или , , , ,

где k1= k1(y), k2= k2(x), k3= k3(x), k4= k4(y) – произвольные гладкие функции.

Из условия (1) получаем:

m1=k2a1+k3x, c1=k1b1+k4y, (6)

где =(x,y) – некоторая гладкая функция.

Подставляя равенства (6) в равенства (2) – (5), получаем:

b2(c2–k2a2)yy+a1(c2x–k2a2x) – k3xa2x+b1(c2y–k1a2y) – k4ya2y+2b2((k1–k2)b1+k4y)y= 0 (7)

a2(m2–k2b2)xx+a1(m2x–k2b2x) – k3xb2x+b1(m2y–k1b2y) – k4yb2y+2b2((k1–k2)b1+k4y)y= 0 (8)

a2((k2–k1)a1+k3x)xx+2a2(b0–k1a0)x+b2(k3x)yy+k2xa21+(k3xx+k3xx)a1

k3xa1y–k4ya1y+((k2-k1)a1y–k3xx)b1= 0, (9)

b2((k1–k2)b1+k4y)yy+2b2(b0–k2a0)y+a2(k4y)xx+k1yb21+(k4yy+k4yy)b1

k3xb1x–k4yb1y+((k1-k2)b1y+k4xy)a1= 0. (10)

Из равенств (7) и (8) найдем a1 и b1:

, ,

где p1=a2k1x+(k1–k2)b2y, q1=(a2b1y+(k1–k2)b2y, ; f1=(a2–b2)x+(a2–b2)y+(k2–k1)(a2–b2).

В предположении, что p10, q10, из равенств (9) и (10) получаем условия в виде дифференциальных уравнений в частных производных на неизвестные функции a1 и b1:

a2((k2–k1)a1+k3x)xx+2a2(b0–k1a0)x+b2(k3x)yy+k2xa21+(k3xx+k3xx)a1

k3xa1y–k4ya1y+((k2-k1)a1y– k3xx) = 0,

b2((k1–k2)b1+k4y)yy+2b2(b0–k2a0)y+a2(k4y)xx+k1yb21+

+(k4yy+k4yy)b1–k3xb1x–k4yb1y +((k1-k2)b1y+k4xy) ,= 0.

Приведем некоторые примеры.

Пример 1. Рассмотрим дифференциальные операторы P =  +2u+u, L =  + v ,

где u = u(x,y) , v = v(x,y) –– некоторые гладкие функции.

Вычислим коммутатор P,L = PL – LP.

PL =  + v+ 2v + v + 2u+ 2uv+ 2uv + u + uv ,

LP = y x2 +2uxy y + 2ux x y + uy + uy + vx2 + 2uxvx + vu.

Следовательно, P,L = vxx + 2uxvx –– uy + 2(vx – uxy)x

Условие P,L = 0 равносильно системе уравнений:



Откуда следует, что uxxy+(ux2)y –– uy = 0 или

uxx + ux2 – u = f(x), (11)

где f(x) – некоторая гладкая функция от x.

Уравнение (11) в обыкновенном случае встречается при исследовании вынужденных затухающих малых колебаний, если затухание пропорционально квадрату скорости [2. с. 491].

В частности, при f(x)0, полагая w(u)=u, получаем линейное уравнение

w/+2w–2u=0, отсюда следует

u/2=ce–2y–1/2(1–y), (12)

x=c1+, где Y – правая часть равенства (12).

Пример 2. Рассмотрим дифференциальные операторы

P= +2uxx+u, L=x+y+v,

где u=u(x,y), v=v(x,y) – некоторые гладкие функции

Вычислим коммутатор P,L=PL – LP.

PL= + +y+vxx+2vxx+v +2ux+2uxxy+2uxvx+2vuxx+ux+uy+uv,

LP = +2uxxx+2ux+ux+ ux+y–2uxyx+2uxxy+uy+uy+vx2uxx+uv.

Следовательно, [P,L]=vxx+2uxvx–ux–uy+2(vx–uxx–uxy)x

Условие [P,L]=0 равносильно системе уравнений:



отсюда следует, что

(uxx+u–u)x+(uxx+u–u)y=0 (13)

Интегрируя уравнение (13), получаем uxx+u–u=f(y–x), где f(y–x) – произвольная функция.

Таким образом, добавление оператора y в оператор L приводит к изменению вынужденной силы: f(x)f(y–x).

Пример 3. Рассмотрим дифференциальные операторы

L=u+u2+a(x), P=u22–uu/ –uu//+u/2,

где a=a(t) – некоторая гладкая функция, u=u(t) – неизвестная функция

Тогда условие [L,P]=0 равносильно уравнению Риккати:

u/+u2+a(t)=0 (14)

Доказательство: Вычислим:

L◦P=2u2u/2+u33–u(uu/)/–u2u/2–u(–uu//+u/2)+u(–uu//+u/2)+(u2+a)u22

(u2+a)uu/+(u2+a)(–uu//+u/2)

P◦L=u2u//+2u2u/2+u33+u2(u2+a)//+2u2(u2+a)/+u2(u2+a) 2–uu/2–u2u/2

uu/(u2+a)/–uu/(u2+a)+(–uu//+u/2)u+(–uu//+u/2)(u2+a)

Вычислим коммутатор:

[L,P]=–2u2(u/+u2+a),

откуда следует уравнение Риккати (14)

Теорема 1. Пусть u(x) – решение уравнения Риккати

u/+u2+a(t)=0

Тогда линейное уравнение

u2y//–uu/y/+(–uu//+u/2)y=0 (15)

Интегрируется в конечном виде:

(16)

Доказательство:

Из уравнения (15) следует, что или

откуда следует равенство (16).


Пример 4. Рассмотрим дифференциальный оператор

L=u1-n+a(x)

где а(х) – некоторая гладкая функция.

Найдём корень квадратный из оператора L.

Пусть – ряд Лорана от свободной переменной [3].

Определим умножение рядов по правилу:

◦+/x /+//xx //+...++...

Из условия  = u1–n2 + a(x), находим коэффициенты a0,a-1,…







откуда следует, что



Аналогично можно найти остальные коэффициенты ai.

Вычислим дробные степени оператора L.















Таким образом,



.

Аналогично можно найти остальные дробные степени.

Теорема 3. Пусть u(x) – уравнения Эмдена-Фаулера

, (17)

где a(x) – некоторая гладкая функция, nR.

Тогда линейное уравнение

, (18)

интегрируется в конечном виде:

. (19)

Доказательство. В самом деле, из уравнения (17) имеем:

Подставляя a(x) в уравнение (18), получаем: , откуда следует равенство (19).


Литература

  1. Паланджянц Л.Ж. Мультипликативный интеграл и некоторые его приложения. //Пространства над алгебрами и некоторые вопросы теории сетей. – Уфа, 1985. – С.160-163.

  2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1971.

  3. Паланджянц Л.Ж., Куижева С.К., Шевякова О.П. О дробных степенях дифференциальных операторов //Труды ФОРА. –1997.– № 3. – С. 35-40.


On differential equations with commutative line differential operators


S.K. Kuigeva


The differential equations with commutative line differential operators first and second order are considered.


© С.К. Куижева

Добавить документ в свой блог или на сайт


Похожие:



Если Вам понравился наш сайт, Вы можеть разместить кнопку на своём сайте или блоге:
refdt.ru


©refdt.ru 2000-2013
условием копирования является указание активной ссылки
обратиться к администрации
refdt.ru