Монина Мария Дмитриевна, преподаватель двггу 18 От логических задачек к олимпиадным задача

Математика 8-11 классы, выпуск 6

Содержание 3

Мендель Виктор Васильевич, доцент ДВГГУ, Шмарин Сергей Владимирович, преподаватель АМГГПУ 4

ТРИГОНОМЕТРИЯ В ГЕОМЕТРИИ 4

Монина Мария Дмитриевна, преподаватель ДВГГУ 18

От логических задачек к олимпиадным задачам 18

Пишкова Наталья Евгеньевна, преподаватель ДВГГУ, Поличка Анатолий Егорович, профессор ДВГГУ 38

Отношение, зависимость, отображение, функция 38

§ 0.1 Введение 38

§ 0.2 Понятие величины 38

§ 0.3 Отношения и отображения величин 40

§ 0.4 Числовые величины 40

§ 0.5 Функциональная зависимость 41

§ 0.6 Способы задания функции 46

§ 0.7 Основные свойства функций: четность, нечетность, периодичность, монотонность, ограниченность 48

§ 0.8 Вариант классификации функций, задаваемых аналитически: основные элементарные функции; расширение этого множества 49

§ 0.9 Упражнения-практикумы 51

3. Другие тождества

а. Так как

,

то

.

Аналогично:

.

Замечание: Эти формулы позволяют так же выражать сумму или разность и через .

б. ,

в. .


П.10 Выражение периметра и площади треугольника через радиусы вписанной и описанной окружности и углы

1. Заметим что в равнобедренном треугольнике с боковой стороной a и углом основание . Кроме того, напомним, что величина центрального угла вдвое больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Поэтому справедлив рисунок 9.

Найдем основания равнобедренных треугольников OAB, OAC и OBC:

, и .

Отсюда периметр треугольника равен:

(22).

Чтобы найти площадь треугольника, вычислим площадь равнобедренных треугольников OAB, OAC и OBC и сложим их:

(23).

2. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении его биссектрис. Проекции центра на стороны треугольника являются точками касания вписанной окружности с этими сторонами.

Далее напомним, что в прямоугольном треугольнике

, .

Применим эти формулы к шести прямоугольным треугольникам, на которые разбивают данный треугольник биссектрисы его углов и радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания со сторонами (смотри рисунок 11), получаем:

(24),

(25).


П.11 Упражнения для самостоятельного решения

11.1. Синус острого угла равен , найдите значения его косинуса и тангенса. (1 балл)

11.2. Тангенс половины тупого угла равен 2, найдите синус и косинус этого угла. (2 балла)

11.3. Тангенс острого угла равен , найдите значения синуса, косинуса и тангенса его половины. (2 балла)

11.4. Найдите косинус и синус суммы и разности двух острых углов и , если , . (2 балла)

11.5. Выразите радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника через его основание и угол при основании. (2 балла)

11.6. Сторона с в треугольнике равна 5, синус и косинус прилежащих острых углов - и соответственно. Найдите площадь этого треугольника. (2 балла)

П.12. Вычислительные задачи (до пяти баллов. В зависимости от решения)

1. 
   Найдите sin 15^o и tg75^o.
   
2. 
   Найдите sin 18^o и tg72^o.
   
3. 
   Через вершины A и B треугольника ABC проходит окружность радиуса r, пересекающая сторону BC в точке D. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и C, если AB = c и AC = b.   
   
4. 
   В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6, BC = 4, AC = 8. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Через точки A, D и C проведена окружность, пересекающая сторону BC в точке E. Найдите площадь треугольника ADE.   
   
5. 
   В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C опущены высоты AP и CQ на стороны BC и AB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а PQ = . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ^ ABC.   
   
6. 
   В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C на стороны BC и AB опущены высоты AP и CQ. Найдите сторону AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 15, периметр треугольника BPQ равен 9, а радиус окружности, описанной около треугольника BPQ, равен .
   
7. 
   Продолжения высот AM и CN остроугольного треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках P и Q. Найдите радиус описанной окружности, если AC = a, PQ =.
   
8. 
   В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Из точки K, лежащей на продолжении стороны AF так, что KA < KF и KA = , проведена секущая KH, пересекающая окружность в точках N и H. Известно, что внешняя часть секущей KN равна 2 (KN = 2), а угол NFH — тупой. Найдите угол HKF.
   
9. 
   Около квадрата BEFC описана окружность радиуса . Из точки P, лежащей на продолжении стороны BC так, что PC < BP и PC =, проведена секущая PA, пересекающая окружность в точках D и A. Известно, что внешняя часть секущей PD равна 4 (PD = 4), а угол BAC — тупой. Найдите угол BPA.
   
10. 
    Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P. Найдите AP² + BP² + CP² + DP² и AB² + BC² + CD² + AD².   
    
11. 
    Окружность радиуса 1 вписана в треугольник ABC, в котором cosB = 0, 8. Эта окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC. Найдите сторону AC.   
    
12. 
    В равнобедренной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 1, вписана в трапецию, а вторая касается двух сторон трапеции и первой окружности. Расстояние от вершины угла, образованного двумя сторонами трапеции, касающимися второй окружности, до точки касания окружностей вдвое больше диаметра второй окружности. Найдите площадь трапеции.   
    
13. 
    В выпуклом четырёхугольнике ^ ABCD проведена диагональ AC, AD = 7, BC = 3, ACD = 60^o. Известно, что точки A, B, C, D лежат на одной окружности, и перпендикуляр, проведённый из точки A к стороне CD, делит угол ^ BAD пополам. Найдите диагональ AC.   
    
14. 
    В треугольнике ABC отрезок MN с концами на сторонах AC и BC параллелен основанию AB и касается вписанной окружности. Предполагая, что углы A и B известны и равны соответственно и , найдите коэффициент подобия треугольников ABC и MNC.  
    
15. 
    Две окружности разных радиусов касаются в точке ^ A одной и той же прямой и расположены по разные стороны от неё. Отрезок AB -- диаметр меньшей окружности. Из точки B проведены две прямые, касающиеся большей окружности в точках M и N. Прямая, проходящая через точки M и A, пересекают меньшую окружность в точке K. Известно, что MK =, а угол ^ BMA равен 15^o. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательной BM, BN и той дугой MN большей окружности, которая не содержит точку A.   
    
16. 
    В треугольнике ABC угол ABC равен , угол BCA равен. Окружность, проходящая через точки A, C и центр описанной около треугольника ABC окружности, пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM к AB.   
    
17. 
    В треугольнике ABC угол BCA равен , а угол ABC равен . Окружность, проходящая через точки A, C и центр описанной около треугольника ABC окружности, пересекает продолжение стороны AB (за точку A) в точке M. Найдите отношение AM к AB.   
    
18. 
    В равнобедренной трапеции с острым углом при основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит большее основание трапеции?
    
19. 
    Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника, в три раза больше длины окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите углы треугольника.
    
20. 
    Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, в 4 раза меньше радиуса окружности, описанной вокруг него. Найдите углы треугольника.
    
21. 
    Площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, в 36 раз больше площади вписанного круга. Найдите углы треугольника.  
    
22. 
    Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение длины описанной окружности к длине вписанной окружности равно . Найдите углы трапеции.   
    
23. 
    В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся обеих боковых сторон треугольника и первой окружности. Найдите радиус второй окружности.   
    
24. 
    В равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся основания, одной из боковых сторон треугольника и вписанной в него первой окружности. Найдите радиус второй окружности.   
    
25. 
    В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB, пересекает сторону AC в точке M, причём MA:CM = 3. Перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC, пересекает сторону AB в точке N, причём AN:BN= 2. Найдите углы треугольника ABC.   
    
26. 
    В треугольнике ABC известно, что CAB = 75^o , ABC = 45^o . На стороне CA берется точка K , причём CK:AK = 3 . На стороне CB берется точка M . Найдите KM:AB, если известно, что это отношение меньше и что прямая MK отсекает от треугольника ABC треугольник, ему подобный.  
    
27. 
    Из вершины тупого угла ромба ABCD проведены высоты BM и BN. В четырёхугольник BMDN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если ABC = 2arctg2.   
    
28. 
    Из вершины A острого угла ромба ABCD опущены перпендикуляры AM и AN на продолжения сторон BC и CD. В четырёхугольник AMCN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если BAC = 2arctg.
    
29. 
    Основание AC равнобедренного треугольника ABC является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольника ABC. Прямые, проходящие через точку B, касаются окружности в точках D и E. Найдите площадь треугольника DBE, если AB=BC = 2, ABC = 2 arcsin, а радиус окружности равен 1.   
    
30. 
    Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD ( BC || AD) пересекаются в точке O. Найдите стороны AB и BC, если A = 2 arccos, OC = , OD = , AD = 5BC.
    
31. 
    Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь параллелограмма, если A = 2 arcsin, OA = , OD = 5. (Найдите все решения).   
    
32. 
    В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона AB равна , сторона BC равна , сторона AD равна . Известно, что угол DAB острый, синус угла DAB равен , косинус угла ABC равен - . Окружность с центром в точке O касается сторон BC, CD и AD. Найдите OD.   
    
33. 
    В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 и , а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника. Найдите площадь треугольника.  
    
34. 
    В параллелограмме ABCD большая сторона AD равна 5. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M. Найдите площадь параллелограмма, если BM = 2, а cosBAM = .   
    
35. 
    Докажите, что для произвольного треугольника выполняется равенство
    

.

П.13. Задачи на доказательство. Разные задачи (до пяти баллов в зависимости от решения)

1. 
   На окружности, описанной около прямоугольника ABCD , выбрана точка K . Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в точке M такой, что AM:MD=2 . Пусть O — центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на окружности, описанной около треугольника COD .
   
2. 
   В четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC , A = B = 20^o , C=30^o . Продолжение стороны AD пересекает BC в точке M, а продолжение стороны CD пересекает AB в точке N . Найдите угол AMN.
   
3. 
   Два правильных многоугольника с периметрами a и b описаны около окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий многоугольники имеют вдвое больше сторон, чем первый. Найдите периметр третьего многоугольника.
   
4. 
   В окружность вписаны три правильных многоугольника, число сторон каждого последующего вдвое больше, чем у предыдущего. Площади первых двух равны S₁ и S₂ . Найдите площадь третьего.
   
5. 
   На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности?
   
6. 
   В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что A = C = E, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.
   

Подсказка. Треугольник BDF — равносторонний.

7. 
   Вписанная в треугольник ABC окружность радиуса 1 касается его сторон AB , BC и AC соответственно в точках K , M и N . Известно, что MKN = ABC = 45^o . Найдите стороны треугольника ABC .
   
8. 
   Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Найдите диагональ AC, если BD = 2, AB=1, ABD : DBC = 4 : 3.
   
9. 
   Окружность проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A. Найдите радиус окружности, если BAC = , ABC =  и площадь треугольника ABC равна S.
   

Подсказка. Пусть D — точка пересечения данной окружности со стороной BC. Зная площадь треугольника ABC, найдите AB с помощью теоремы синусов. Затем докажите, что ADB = 180^o- .

10. 
    Через точку M, лежащую внутри окружности S, проведена хорда AB; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через точки A и B. Докажите, что величина 1/PM + 1/QM не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M.
    
11. 
    В трапеции BCDE основание BE = 13, основание CD = 3, CE = 10. На описанной около трапеции BCDE окружности взята отличная от E точка A так, что CA = 10. Найдите длину отрезка BA и площадь пятиугольника ABCDE. Ответ 3; .
    
12. 
    В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. На меньшей дуге AB описанной окружности выбрана такая точка L , что LC=CB. При этом оказалось, что BLB₁ = 90^o . Докажите, что высота AA₁ делится высотой BB1 пополам.
    
13. 
    Окружность с центром на стороне AB равнобедренного треугольника ABC (AB=BC) касается отрезка AC в точке F , пересекает отрезок BC в точке G, проходит через точку B и пересекает отрезок AB в точке E , причём AE = a, BFG = γ . Найдите радиус окружности.
    
14. 
    Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина — на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.
    
15. 
    Радиус вписанной в треугольник PQR окружности равен 5, причём RP = RQ. На прямой PQ взята точка A, удалённая от прямых PR и QR на расстояния 12 и 2 соответственно. Найдите косинус угла AQR.   
    Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу описанной окружности равно . Найдите углы трапеции.   
    
16. 
    Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника, в три раза больше длины окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите углы треугольника.   
    
17. 
    Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Площадь описанного круга в 12 раз больше площади вписанного круга. Найдите углы трапеции.   
    
18. 
    Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, в 4 раза меньше радиуса окружности, описанной вокруг него. Найдите углы треугольника.   
    
19. 
    Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение длины описанной окружности к длине вписанной окружности равно . Найдите углы трапеции.   
    
20. 
    Площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, в 36 раз больше площади вписанного круга. Найдите углы треугольника.   
    
21. 
    Окружность с центром в точке O, лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC, касается его катетов AB и BC. Найдите AC, если известно, что AM = , AN : MN = 6 : 1, где M — точка касания AB с окружностью, а N — точка пересечения окружности с AC, расположенная между точками A и O.   
    
22. 
    На гипотенузе KM прямоугольного треугольника KLM расположен центр O окружности, которая касается катетов KL и LM в точках A и B соответственно. Найдите AK, если известно, что BM = , AK : AC = 5 : 23, где C — точка пересечения окружности с KM, лежащая между точками O и M.  
    
23. 
    В прямоугольном треугольнике ABC из точки E, расположенной в середине катета BC, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу AB. Найдите углы треугольника ABC, если AE = . EL и BC > AC.   
    
24. 
    В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и AE, пересекающиеся в точке P . Докажите, что AB² = AP·AE + BP·BD.
    
25. 
    В треугольнике ABC угол C в два раза больше угла A и AC=2BC. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.   
    
26. 
    На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен высоты треугольника, опущенной на её боковую сторону.   
    
27. 
    Во вписанном четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна .   
    
28. 
    На диаметре AC некоторой окружности дана точка E. Проведите через неё хорду BD так, чтобы площадь четырёхугольника ABCD была наибольшей.
    
29. 
    На сторонах AB и AD квадрата ABCD взяты точки K и N соответственно. При этом AK . AN = 2BK . DN. Отрезки CK и CN пересекают диагональ BD в точках L и M. Докажите, что точки K, L, M, N и A лежат на одной окружности. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, лежащей на окружности, до вершин правильного вписанного в эту окружность треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.   
    
30. 
    Площадь треугольника равна 1. Докажите, что средняя по длине его сторона не меньше .  
    
31. 
    Периметр выпуклого четырёхугольника равен 4. Докажите, что площадь четырёхугольника не превосходит 1.   
    
32. 
    Диагонали выпуклого четырёхугольника равны d₁ и d₂. Какое наибольшее значение может иметь его площадь?   
    
33. 
    Каждая сторона выпуклого четырёхугольника меньше a. Докажите, что его площадь меньше a².