Математика 8-11 классы, выпуск 6 Содержание Содержание 3 Мендель Виктор Васильевич, доцент ДВГГУ, Шмарин Сергей Владимирович, преподаватель АМГГПУ 4 ТРИГОНОМЕТРИЯ В ГЕОМЕТРИИ 4 Монина Мария Дмитриевна, преподаватель ДВГГУ 18 От логических задачек к олимпиадным задачам 18 Пишкова Наталья Евгеньевна, преподаватель ДВГГУ, Поличка Анатолий Егорович, профессор ДВГГУ 38 Отношение, зависимость, отображение, функция 38 § 0.1 Введение 38 § 0.2 Понятие величины 38 § 0.3 Отношения и отображения величин 40 § 0.4 Числовые величины 40 § 0.5 Функциональная зависимость 41 § 0.6 Способы задания функции 46 § 0.7 Основные свойства функций: четность, нечетность, периодичность, монотонность, ограниченность 48 § 0.8 Вариант классификации функций, задаваемых аналитически: основные элементарные функции; расширение этого множества 49 § 0.9 Упражнения-практикумы 51 ^ П.1. Вместо введения Название курса «Тригонометрия в геометрии» может показаться парадоксальным, ведь исторически тригонометрия появилась как часть геометрии, исследующая соотношения между сторонами и углами треугольника. Тем не менее, за многовековую историю тригонометрия превратилась в самостоятельный раздел математики. Тригонометрические функции получили широкое распространение в теории колебаний, задачах математической физики, электротехнике и прочее и прочее… Цель предлагаемого курса – возвращение тригонометрии к ее «альма-матер» - геометрии. Данное возвращение должно и может обогатить геометрию новыми подходами к решению геометрических задач. Мы так же попробуем взглянуть на хорошо известные факты геометрии под новыми ракурсами.
П.2. Основные понятия тригонометрии 1 . Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника Для угла : b – прилежащий катет, a – противолежащий катет , (1). Разделим в теореме Пифагора обе части на , получим основное тригонометрическое тождество: или . (2) 2. Отношение катетов: - тангенс угла (3), - котангенс угла . (4). П .3. Тригонометрическая окружность Рассмотрим в координатной плоскости окружность, центр которой расположен в начале координат, а радиус равен единице. Пусть M – произвольная точка на окружности. Вектор называется радиус-вектором точки M. Угол между осью OX и вектором обозначим . Треугольник OMMx – прямоугольный, его гипотенуза OM равна 1. Обозначим x и y координаты точки M. По модулю они равны катетам треугольника OMMx. И з формул (1) и (2) следует что , . Вспомним, что до сих пор мы считали угол острым. Обобщим понятия «синус» и «косинус» на углы, большие прямого, либо «отрицательные». Определение 1. Косинусом и синусом произвольного угла будем называть абсциссу и ординату точки M единичной окружности, такой, что, вектор составляет с положительным направлением оси OX угол . З амечание. Угол считается положительным, если обход от OX к направлен против часовой стрелки. В противном случае угол - отрицательный.
П.4. Единичный вектор 1. Рассмотрим вектор единичной длины, отложенный на плоскости от начала координат. Если этот вектор составляет с положительным направлением оси OX угол , то его координаты (согласно определению 1) равны (см. рис.4): (5) Заметим так же, что если угол <0, то, положив получим: (6) (смотри рисунок 5). 2 . Если и - два вектора и угол между ними, то скалярное произведение равно: (7). Если известны координаты векторов и : и , то скалярное произведение можно вычислить по формуле: (8). 3. Так как , то скалярное произведение перпендикулярных друг другу (ортогональных) векторов равно нулю. Верно и обратное: если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю то они ортогональны. З ная координаты вектора , легко найти координаты перпендикулярного ему вектора той же длины. Для этого достаточно поменять координаты вектора местами и заменить знак у одной из них на противоположный: или . Мы можем в этом убедиться вычислив скалярное произведение по формуле (8). 4. Из формулы (7) следует, что если =1, то (9).
П.5. Косинус суммы и разности двух углов 1. Рассмотрим два единичных вектора, таких, что один составляет с положительным направлением оси OX угол , а другой угол . Тогда угол между векторами и равен . Заметим (см. (5) (6)), что , . По свойству (9) . Вычислив это же скалярное произведение по формуле (8), получим: . Отсюда следует известная формула:  (10). 2. Пусть теперь векторы и составляют с положительным направлением оси OX углы и соответственно. Тогда угол между ними равен . Координаты векторов , . Применив к ним рассуждения из предыдущего под пункта, получим формулу косинуса разности: (11)
П.6 Синус суммы и синус разности 1. Так как для острых углов и прямоугольного треугольника понятия «прилежащий» и «противолежащий катет» двойственны, то и . Из того, что следует, что и (12). 2. Эти соотношения мы применим к п.5. Итак: . Найдем косинус разности углов и : . Применим далее формулы (12) получим: (13). 3. Аналогично . Найдем косинус суммы углов и по формуле (11):  Откуда (14).
П.7 Тангенс суммы и разности 1. Тангенс суммы углов и представим в виде дроби: . Заменив синус и косинус суммы по формулам (11) и (13) получим . Разделив выражения в числителе и знаменателе на произведение , получаем , или (15).
П.8 Формулы суммы и разности тригонометрических функций 1.  Введем вспомогательные аргументы и . Тогда , . Если сложить левые и правые части этих уравнений, получим: , отсюда получим (16). Если из первого уравнения вычесть второе, получим: (17). 2.  Используя тот же прием для синусов суммы и разности, можно получить формулы: (18), (19). 3. Важные тождества для суммы и разности тангенсов . Сворачивая числитель, получаем: (20). Аналогично: (21).
П.9 Сводная таблица выражений тригонометрических функций двойных и половинных углов 1. Двойной угол а.  б.  в.  г.  2. Половинный угол а. б.  в. г.  3. Другие тождества а. Так как  , то  . Аналогично:   . Замечание: Эти формулы позволяют так же выражать сумму или разность и через  . б.  , в.  . П.10 Выражение периметра и площади треугольника через радиусы вписанной и описанной окружности и углы  1. Заметим что в равнобедренном треугольнике с боковой стороной a и углом  основание  . Кроме того, напомним, что величина центрального угла вдвое больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Поэтому справедлив рисунок 9. Найдем основания равнобедренных треугольников OAB, OAC и OBC:  ,  и  . Отсюда периметр треугольника равен:  (22). Чтобы найти площадь треугольника, вычислим площадь равнобедренных треугольников OAB, OAC и OBC и сложим их:  (23). 2  . Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении его биссектрис. Проекции центра на стороны треугольника являются точками касания вписанной окружности с этими сторонами. Далее напомним, что в прямоугольном треугольнике  ,  .  Применим эти формулы к шести прямоугольным треугольникам, на которые разбивают данный треугольник биссектрисы его углов и радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания со сторонами (смотри рисунок 11), получаем:  (24),  (25). П.11 Упражнения для самостоятельного решения 11.1. Синус острого угла равен  , найдите значения его косинуса и тангенса. (1 балл) 11.2. Тангенс половины тупого угла равен 2, найдите синус и косинус этого угла. (2 балла) 11.3. Тангенс острого угла равен  , найдите значения синуса, косинуса и тангенса его половины. (2 балла) 11.4. Найдите косинус и синус суммы и разности двух острых углов  и  , если  ,  . (2 балла) 11.5. Выразите радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника через его основание и угол при основании. (2 балла) 11.6. Сторона с в треугольнике равна 5, синус и косинус прилежащих острых углов -  и  соответственно. Найдите площадь этого треугольника. (2 балла) П.12. Вычислительные задачи (до пяти баллов. В зависимости от решения) Найдите sin 15o и tg75o. Найдите sin 18o и tg72o. Через вершины A и B треугольника ABC проходит окружность радиуса r, пересекающая сторону BC в точке D. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и C, если AB = c и AC = b. В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6, BC = 4, AC = 8. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Через точки A, D и C проведена окружность, пересекающая сторону BC в точке E. Найдите площадь треугольника ADE. В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C опущены высоты AP и CQ на стороны BC и AB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а PQ = . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ^ . В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C на стороны BC и AB опущены высоты AP и CQ. Найдите сторону AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 15, периметр треугольника BPQ равен 9, а радиус окружности, описанной около треугольника BPQ, равен . Продолжения высот AM и CN остроугольного треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках P и Q. Найдите радиус описанной окружности, если AC = a, PQ = . В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Из точки K, лежащей на продолжении стороны AF так, что KA < KF и KA = , проведена секущая KH, пересекающая окружность в точках N и H. Известно, что внешняя часть секущей KN равна 2 (KN = 2), а угол NFH — тупой. Найдите угол HKF. Около квадрата BEFC описана окружность радиуса . Из точки P, лежащей на продолжении стороны BC так, что PC < BP и PC = , проведена секущая PA, пересекающая окружность в точках D и A. Известно, что внешняя часть секущей PD равна 4 (PD = 4), а угол BAC — тупой. Найдите угол BPA. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P. Найдите AP2 + BP2 + CP2 + DP2 и AB2 + BC2 + CD2 + AD2. Окружность радиуса 1 вписана в треугольник ABC, в котором cos B = 0, 8. Эта окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC. Найдите сторону AC. В равнобедренной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 1, вписана в трапецию, а вторая касается двух сторон трапеции и первой окружности. Расстояние от вершины угла, образованного двумя сторонами трапеции, касающимися второй окружности, до точки касания окружностей вдвое больше диаметра второй окружности. Найдите площадь трапеции. В выпуклом четырёхугольнике ^ проведена диагональ AC, AD = 7, BC = 3, ACD = 60o. Известно, что точки A, B, C, D лежат на одной окружности, и перпендикуляр, проведённый из точки A к стороне CD, делит угол ^ пополам. Найдите диагональ AC. В треугольнике ABC отрезок MN с концами на сторонах AC и BC параллелен основанию AB и касается вписанной окружности. Предполагая, что углы A и B известны и равны соответственно и , найдите коэффициент подобия треугольников ABC и MNC. Две окружности разных радиусов касаются в точке ^ одной и той же прямой и расположены по разные стороны от неё. Отрезок AB -- диаметр меньшей окружности. Из точки B проведены две прямые, касающиеся большей окружности в точках M и N. Прямая, проходящая через точки M и A, пересекают меньшую окружность в точке K. Известно, что MK = , а угол ^ равен 15o. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательной BM, BN и той дугой MN большей окружности, которая не содержит точку A. В треугольнике ABC угол ABC равен , угол BCA равен . Окружность, проходящая через точки A, C и центр описанной около треугольника ABC окружности, пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM к AB. В треугольнике ABC угол BCA равен , а угол ABC равен . Окружность, проходящая через точки A, C и центр описанной около треугольника ABC окружности, пересекает продолжение стороны AB (за точку A) в точке M. Найдите отношение AM к AB. В равнобедренной трапеции с острым углом при основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит большее основание трапеции? Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника, в три раза больше длины окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите углы треугольника. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, в 4 раза меньше радиуса окружности, описанной вокруг него. Найдите углы треугольника. Площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, в 36 раз больше площади вписанного круга. Найдите углы треугольника. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение длины описанной окружности к длине вписанной окружности равно . Найдите углы трапеции. В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся обеих боковых сторон треугольника и первой окружности. Найдите радиус второй окружности. В равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся основания, одной из боковых сторон треугольника и вписанной в него первой окружности. Найдите радиус второй окружности. В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB, пересекает сторону AC в точке M, причём MA:CM = 3. Перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC, пересекает сторону AB в точке N, причём AN:BN= 2. Найдите углы треугольника ABC. В треугольнике ABC известно, что CAB = 75o , ABC = 45o . На стороне CA берется точка K , причём CK:AK = 3 . На стороне CB берется точка M . Найдите KM:AB, если известно, что это отношение меньше и что прямая MK отсекает от треугольника ABC треугольник, ему подобный. Из вершины тупого угла ромба ABCD проведены высоты BM и BN. В четырёхугольник BMDN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если ABC = 2arctg2. Из вершины A острого угла ромба ABCD опущены перпендикуляры AM и AN на продолжения сторон BC и CD. В четырёхугольник AMCN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если BAC = 2arctg . Основание AC равнобедренного треугольника ABC является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольника ABC. Прямые, проходящие через точку B, касаются окружности в точках D и E. Найдите площадь треугольника DBE, если AB=BC = 2, ABC = 2 arcsin , а радиус окружности равен 1. Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD ( BC || AD) пересекаются в точке O. Найдите стороны AB и BC, если A = 2 arccos , OC = , OD = , AD = 5BC. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь параллелограмма, если A = 2 arcsin , OA = , OD = 5. (Найдите все решения). В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона AB равна , сторона BC равна , сторона AD равна . Известно, что угол DAB острый, синус угла DAB равен , косинус угла ABC равен - . Окружность с центром в точке O касается сторон BC, CD и AD. Найдите OD. В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 и , а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника. Найдите площадь треугольника. В параллелограмме ABCD большая сторона AD равна 5. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M. Найдите площадь параллелограмма, если BM = 2, а cos BAM = . Докажите, что для произвольного треугольника выполняется равенство  . П.13. Задачи на доказательство. Разные задачи (до пяти баллов в зависимости от решения) На окружности, описанной около прямоугольника ABCD , выбрана точка K . Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в точке M такой, что AM:MD=2 . Пусть O — центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на окружности, описанной около треугольника COD . В четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC , A = B = 20o , C=30o . Продолжение стороны AD пересекает BC в точке M, а продолжение стороны CD пересекает AB в точке N . Найдите угол AMN. Два правильных многоугольника с периметрами a и b описаны около окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий многоугольники имеют вдвое больше сторон, чем первый. Найдите периметр третьего многоугольника. В окружность вписаны три правильных многоугольника, число сторон каждого последующего вдвое больше, чем у предыдущего. Площади первых двух равны S1 и S2 . Найдите площадь третьего. На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности? В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что A = C = E, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF. Подсказка. Треугольник BDF — равносторонний. Вписанная в треугольник ABC окружность радиуса 1 касается его сторон AB , BC и AC соответственно в точках K , M и N . Известно, что MKN = ABC = 45o . Найдите стороны треугольника ABC . Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Найдите диагональ AC, если BD = 2, AB=1, ABD : DBC = 4 : 3. Окружность проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A. Найдите радиус окружности, если BAC = , ABC = и площадь треугольника ABC равна S. Подсказка. Пусть D — точка пересечения данной окружности со стороной BC. Зная площадь треугольника ABC, найдите AB с помощью теоремы синусов. Затем докажите, что  ADB = 180 o- . Через точку M, лежащую внутри окружности S, проведена хорда AB; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через точки A и B. Докажите, что величина 1/PM + 1/QM не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M. В трапеции BCDE основание BE = 13, основание CD = 3, CE = 10. На описанной около трапеции BCDE окружности взята отличная от E точка A так, что CA = 10. Найдите длину отрезка BA и площадь пятиугольника ABCDE. Ответ 3; . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. На меньшей дуге AB описанной окружности выбрана такая точка L , что LC=CB. При этом оказалось, что BLB1 = 90o . Докажите, что высота AA1 делится высотой BB1 пополам. Окружность с центром на стороне AB равнобедренного треугольника ABC (AB=BC) касается отрезка AC в точке F , пересекает отрезок BC в точке G, проходит через точку B и пересекает отрезок AB в точке E , причём AE = a, BFG = γ . Найдите радиус окружности. Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина — на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей. Радиус вписанной в треугольник PQR окружности равен 5, причём RP = RQ. На прямой PQ взята точка A, удалённая от прямых PR и QR на расстояния 12 и 2 соответственно. Найдите косинус угла AQR. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу описанной окружности равно . Найдите углы трапеции. Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника, в три раза больше длины окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите углы треугольника. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Площадь описанного круга в 12 раз больше площади вписанного круга. Найдите углы трапеции. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, в 4 раза меньше радиуса окружности, описанной вокруг него. Найдите углы треугольника. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение длины описанной окружности к длине вписанной окружности равно . Найдите углы трапеции. Площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, в 36 раз больше площади вписанного круга. Найдите углы треугольника. Окружность с центром в точке O, лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC, касается его катетов AB и BC. Найдите AC, если известно, что AM = , AN : MN = 6 : 1, где M — точка касания AB с окружностью, а N — точка пересечения окружности с AC, расположенная между точками A и O. На гипотенузе KM прямоугольного треугольника KLM расположен центр O окружности, которая касается катетов KL и LM в точках A и B соответственно. Найдите AK, если известно, что BM = , AK : AC = 5 : 23, где C — точка пересечения окружности с KM, лежащая между точками O и M. В прямоугольном треугольнике ABC из точки E, расположенной в середине катета BC, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу AB. Найдите углы треугольника ABC, если AE = . EL и BC > AC. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и AE, пересекающиеся в точке P . Докажите, что AB2 = AP·AE + BP·BD. В треугольнике ABC угол C в два раза больше угла A и AC=2BC. Докажите, что этот треугольник прямоугольный. На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен высоты треугольника, опущенной на её боковую сторону. Во вписанном четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна . На диаметре AC некоторой окружности дана точка E. Проведите через неё хорду BD так, чтобы площадь четырёхугольника ABCD была наибольшей. На сторонах AB и AD квадрата ABCD взяты точки K и N соответственно. При этом AK . AN = 2BK . DN. Отрезки CK и CN пересекают диагональ BD в точках L и M. Докажите, что точки K, L, M, N и A лежат на одной окружности. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, лежащей на окружности, до вершин правильного вписанного в эту окружность треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности. Площадь треугольника равна 1. Докажите, что средняя по длине его сторона не меньше . Периметр выпуклого четырёхугольника равен 4. Докажите, что площадь четырёхугольника не превосходит 1. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны d1 и d2. Какое наибольшее значение может иметь его площадь? Каждая сторона выпуклого четырёхугольника меньше a. Докажите, что его площадь меньше a2. |