Элективный курс «Элементы математической логики»



Скачать 83.98 Kb.
НазваниеЭлективный курс «Элементы математической логики»
Дата14.04.2013
Размер83.98 Kb.
ТипЭлективный курс
источник



Элективный курс

«Элементы

математической логики»


Разработан:

учителем школы № 853


Кондратьевой Антониной Ивановной


1. Высказывания

2. Операции над высказываниями

3. Неопределенные высказывания

4. Знаки общности и существования



  1. Высказывания



  1. Примеры высказываний:


Число 27 делится на 9,

Число 27 делится на 7,

6 меньше 25,

формула у=ах²+вх+с=0 задает линейную функцию.

Записывать высказывания принято таким образом:

А= { Число 27 делится на 9},

D= {6 меньше 25 }.


^ Высказыванием будем называть утверждение, про которое можно точно сказать, истинно оно или нет.


Являются ли высказыванием утверждения:

Число 252369 очень велико,

Существует ли треугольник.с углом 181º?

Х ≥ 3,

Катя -красивая девушка!

В реке Сходня плавает крокодил,

В килограмме гречки 569219359 крупинок?

Последние два утверждения трудно проверить на истинность.


^ 2 Закон исключенного третьего.

Любое высказывание либо истинно, либо ложно.


3.Закон противоречия.

Никакое высказывание не может одновременно быть истинным и ложным. В пятидесятых годах прошлого века была предпринята попытка создать математику ,в которой этот закон не выполняется. Пока не получилось…


2. Операции над высказываниями


Отрицание


Утверждение о том, что высказывание А не верно, называется отрицанием А

и обозначается ¬А или . Говорят, А не имеет места или а не выполняется.

Составьте отрицания к высказываниям: А{23 делится на 7}, В{3>5},

С{5+3=8}, D{30 есть простое число}.

Какие из предложенных высказываний истинны.

Рассмотрим высказывание А{11 делится на 3}. Чтобы составить высказывание, поставим не перед сказуемым. Но если высказывание содержит частицу не перед сказуемым, например, В{8 не делится на 5}, то для отрицания надо частицу не перед сказуемым отбросить.

¬(¬)А=А

Получили таблицу истинности:


А



И

Л

Л

И



Конъюнкция


Конъюнкцией двух высказываний А и В (обозначается символом АВ, читается «А и В») называется высказывание, которое является высказывание, которое является истинным тогда и только тогда, когда А ложно.


Составьте конъюнкцию таких высказываний:

1) Е{мама просила меня сходить в магазин} и S{мама просила меня сделать уроки}.

2) А{в четырехугольнике МРКТ МРКТ}, В{РКТМ}.


Дизъюнкция


Дизъюнкцией высказываний А и В (обозначается символом АВ, читается «А или В») называется высказывание, которое истинно в тех случаях, когда истинно хотя бы одно из высказываний А или В, и ложно, если ложны оба высказывания А и В.

Составьте дизъюнкцию приведенных выше высказываний.

Замечание: Дизъюнкция («или») понимается в смысле, отличном от бытового: логическая операция дизъюнкции не является «разделительным или». Дизъюнкция двух высказываний является истинной не только тогда, когда одно из высказываний истинно, а другое ложно, но и в том случае, когда истинны оба.


Эквиваленция


Эквиваленцией высказываний А и В (обозначается АВ, читается «А эквивалентно В») называется такое высказывание, которое истинно, если оба высказывания А и В истинны или оба ложны, и ложно, если одно из этих высказываний истинно, а другое ложно.

Рассмотрим высказывание С{в четырехугольнике МРКТ противоположные стороны равны}. Тогда высказывания С и АВ эвивалентны.


Импликация


Импликацией высказываний А и В (обозначается АВ, читается «если А, то В» или «А следует из В», «А влечет за собой В») называется высказывание, которое ложно лишь в том случае, когда А истинно, а В ложно.

А{C - рыба}, В{С - селедка}. Высказывание АВ ложно, ВА истинно.

D{Сейчас на улице дождь}, Е{Сейчас на улице лужи}.


Получилась таблица:


A

B

АВ

АВ

АВ

АВ

И

И

И

И

И

И

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

Л

Л

Л

И

И



Свойства операций


1) Коммутативность: АВ=ВА, АВ=ВА.

2) Ассоциативность: АС)=(АВ)С, АС)=(АВ) С.

3) Дистрибутивность: АС)=(АВ) С), АС)=(АВ)С).

4) Законы де Моргана: , .


Кроме того, справедливы следующие неравенства (через И обозначено тождественно истинное высказывание):

=А, АА=А, АА=А

А=И, АИ=И, АИ=А.

Если Л – тождественно ложное высказывание, то

АЛ=А, А=Л, АЛ=Л, =Л.

Замечание: знак конъюнкции, как и знак умножения в алгебраических операциях, часто опускается:



Для конъюнкции и дизъюнкции нескольких высказываний также выполняется законы де Моргана:

,



3. Неопределенные высказывания


Обозначим через N множество всех натуральных чисел, через х обозначим произвольное натуральное число. Рассмотрим следующие предложения:

А(х) {х делится на 3}, В(х) {х меньше 10}, С(х) {х – простое число},

D(x) {}. Предложения А(х), В(х), С(х), D(x) высказываниями не являются, пока нам не известно число х. Но, подставляя в А(х) вместо х различные натуральные числа, мы получим высказывания о натуральных числах – иногда истинные, иногда ложные. Например А(5) {число 5 делится на 3} – истинное высказывание, А(12) {число 12 делится на 3} – истинное высказывание и т. д. Можно составить таблицу истинности для этих высказываний:


А(1)

А(2)

А(3)

А(4)

А(5)

А(6)

А(7)

А(8)

А(9)



Л

Л

И

Л

Л

И

Л

Л

И




Рассмотренные нами предложения А(х), В(х), С(х), D(x), содержащие переменную х, можно назвать неопределенными высказываниями или предикатами.

Примеры предикатов с двумя и большим числом переменных:

А(х,у) {x{х+у – простое число}.

А(1,3) {1<3} - И, А(2,5)={2<5} - И, C(5,4) {5+4 – простое число} - Л.


4. Знаки общности и существования


Рассмотрим высказывание А{каждое простое число нечетное}. Каково будет отрицание этого высказывания? Многие отвечают, что отрицанием будет высказывание В{каждое простое число четно}. Но это утверждение ошибочно, поскольку каждое из высказываний А и В является ложным. Правильный ответ: {не каждое простое число нечетно}

{найдется простое число, которое четно} или {хотя бы одно простое число четно} – И.

Сравним 2 высказывания: {каждое простое число нечетно} и {хотя бы одно простое число четно}. При этом первое слово «каждое», стоявшее в высказывании А заменится в высказывании словами «хотя бы одно» или «существует», а вторая часть высказывания просто заменяется ее отрицанием.

Верно и обратное. Если в начале высказывания стоят слова «хотя бы один», «найдется», «существует» и т. п., то при постановке отрицания «не» после этих слов они заменяются на «все», «каждый», «любой». Если же «не» добавить перед этими словами, то никакой замены слов не происходит.

Пример: А{никакой ромб не может быть вписан в окружность} или А{не существует ромба, который может быть вписан в окружность}. В последнем высказывании частица «не» стоит впереди предложения.

{существует ромб, который может быть вписан в окружность}.

Рассмотрим знак общности.

х Р(х) – это предикат, заданные на множестве М, которому принадлежит х. Но как проверить его истинность? Подставить вместо х все элементы множества М не всегда возможно. Если же надо доказать, что х Р(х) – ложно, то надо найти один элемент а, такой что Р(а)=Л.

Пример: С(х) {число+1 - простое}.

Пьер Ферма был убежден в справедливости высказывания х С(х) и пытался найти доказательства этого факта. С(1), С(2), С(3), С(4) – И (Проверьте!. Однако, другой математик, Леонард Эйлер показал, что

С(5) – Л. х Р(х) и Р(х) – это не предикаты, а высказывания.

Добавить документ в свой блог или на сайт


Похожие:



Если Вам понравился наш сайт, Вы можеть разместить кнопку на своём сайте или блоге:
refdt.ru


©refdt.ru 2000-2013
условием копирования является указание активной ссылки
обратиться к администрации
refdt.ru