1. Двойные интегралы и их вычисление



Скачать 288.03 Kb.
Название1. Двойные интегралы и их вычисление
Дата20.04.2013
Размер288.03 Kb.
ТипДокументы
источник
1. /новые семинары кратные и криволинейные с ответами.doc1. Двойные интегралы и их вычисление

1. Двойные интегралы и их вычисление.


На плоскости Oxy рассмотрим некоторую замкнутую область D, ограниченную замкнутой линией L. Пусть в D задана функция z = f(x, y). Произвольными линиями разобьем D на n элементарных областей Si, площади которых µ §(i=µ §) (рис. 1.1). В каждой области Si выберем произвольную точку Pi(xi, yi). Диаметром di области Si называется длина наибольшего из отрезков, соединяющих граничные точки Si.

Рис. 1.1.

Выражение вида

µ § (1.1)

называется n-й интегральной суммой для функции z = f(x, y) в области D. Вследствие произвольного разбиения области D на элементарные области Si и случайного выбора в них точек Pi можно составить бесчисленное множество указанных сумм. Однако, согласно теореме существования и единственности, если функция z = f(x, y), например, непрерывна в D и линия L ЁC кусочно-гладкая, то предел всех этих сумм, найденных при условии µ §, всегда существует и единствен.

Двойным интегралом функции z = f(x, y) по области D называется предел µ §In обозначаемый µ §. Таким образом, по определению

µ §, (1.2)

Здесь и далее будем предполагать, что функция z = f(x, y) непрерывна в области D и линия L ЁC кусочно-гладкая, поэтому указанный в формуле (1.2) предел существует.

Укажем основные свойства двойного интеграла и его геометрический и физический смыслы.

1. µ §, где µ §- площадь области интегрирования D.

2. Если подынтегральная функция µ §- поверхностная плотность материальной пластины, занимающей область D, то масса этой пластины определяется по формуле

µ § (1.3)

В этом заключается физический смысл двойного интеграла.

3. Если µ § в области D, то двойной интеграл (1.2) численно равен объему V цилиндрического тела, находящегося над плоскостью Oxy, нижним основанием которого является область D, верхним ЁC µ §, а боковая поверхность ЁC цилиндрическая, причем ее прямолинейные образующие параллельны оси Oz и проходят через границу L области D (рис. 1.2).

Рис. 1.2.

Если µ § в области D, то двойной интеграл численно равен объему цилиндрического тела, находящегося под плоскостью Oxy (рис. 1.3), взятому со знаком «ЁC» (ЁCV). Если же функция f(x, y) в области D меняет знак, то двойной интеграл численно равен разности объемов цилиндрических тел, находящихся над плоскостью Oxy и под ней, т.е.

µ § (1.4)

(рис. 1.4). Это свойство выражает геометрический смысл двойного интеграла.

4. Если функции µ § непрерывны в области D, то верна формула

µ §

5. Постоянный множитель C подынтегральной функции можно выносить за знак двойного интеграла:

µ §.

Рис. 1.3.

Рис. 1.4.

6. Если область D разбить на конечное число областей D1, D2, ЎK, Dk , не имеющих общих внутренних точек, то интеграл по области D равен сумме интегралов по этим областям:

µ §.

7 (теорема о среднем). Для непрерывной функции z = f(x, y) в замкнутой области D, площадь которой µ §, всегда найдется хотя бы одна точка µ §, такая, что

µ §.

Число µ § называется средним значением функции z = f(x, y) в области D.

8. Если в области D для непрерывных функций f(x, y), f1(x, y) , f2(x, y) выполнены неравенства µ §, то

µ §.

9. Если функция µ § и непрерывна в области D, µ §, µ §, то

µ §.

Замечание. Так как предел n-й интегральной суммы In (см. формулы (1.1), (1.2)) не зависит от способа разбиения области D, на элементарные области Si (теорема существования и единственности), то в декартовой системе координат область D удобно разбивать на элементарные области Si прямыми, параллельными осям координат. Полученные при таком разбиении элементарные области Si, принадлежащие области D, являются прямоугольниками. Следовательно, dS=dxdy и

µ §.

Область интегрирования D называется правильной в направлении оси Ox (оси Oy), если любая прямая, параллельная оси Ox (оси Oy), пересекает границу L области D не более двух раз (рис. 1.5, а). Область D считается также правильной, если часть ее границы или вся граница L состоит из отрезков прямых, параллельных осям координат (рис. 1.5, б).

Рассмотри методы вычисления двойного интеграла по областям, правильным в направлении координатных осей; так как практически любую область можно представить в виде объединения правильных областей (рис. 1.5, в), то, согласно свойству 6 двойных интегралов, эти методы пригодны для их вычисления по любым областям.

а

б

в

Рис. 1.5.

Для вычисления двойного интеграла нужно проинтегрировать подынтегральную функцию z = f(x, y) по одной из переменных (в пределах ее измерения в правильной области D) при любом постоянном значении другой переменной. Полученный результат проинтегрировать по второй переменной в максимальном диапазоне ее измерения в D. Тогда все произведения f(x, y)dxdy в двойном интеграле (предел суммы (1.2)) будут учтены при суммировании точно по одному разу, и мы избавимся от лишних, не принадлежащих области D, произведений.

Если область D, правильная в направлении оси Oy, проектируется на ось Ox в отрезок [a;b], то ее граница L разбивается на две линии: AmB, задаваемую уравнением µ §, и AnB, задаваемую уравнением µ § (рис. 1.6). Тогда область D определяется системой неравенств:

µ §, µ §

и двойной интеграл вычисляется по правилу (внутреннее интегрирование ведется по переменной y, а внешнее ЁC по переменной x)

µ §. (1.5)

Рис. 1.6.

Если область D, правильная в направлении оси Ox, проектируемая на ось Oy в отрезок [c;d], то ее граница L разбивается на две линии: CpD*, задаваемую уравнением µ §, и CqD*, задаваемую уравнением µ § (рис. 1.7). В этом случае область D определяется системой неравенств:

µ §, µ §,

и двойной интеграл вычисляется по правилу (внутреннее интегрирование ведется по переменной x, а внешнее ЁC по переменной y)

µ § (1.6)

Рис. 1.7.

Выражения, стоящие в правых частях равенств (1.5), (1.6), называются повторными интегралами.

Из равенств (1.5) и (1.6) следует, что

µ §=µ § (1.7)

Переход от левой части равенства (1.7) к правой его части и обратно называется изменением порядка интегрирования в повторном интеграле.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл µ §, если область µ § ограничена линиями y=µ §; y=x; x=4. Этот же интеграл вычислить, изменив порядок интегрирования.

а

б

Рис. 1.8.

Решение. Прежде всего следует представить на чертеже область .Контур этой области пересекается всякой прямой, параллельной оси Oy в двух точках (рис. 1.8).

µ §=µ §

В повторном интеграле внутреннее интегрирование производится по переменной y, а внешнее ЁC по x.

Пределы интегрирования в повторном интеграле получены так: область µ § была спроектирована на ось Ox. Получился отрезок [0;4]. Этим был определен нижний предел 0 и верхний предел 4 изменения переменной x во внешнем интеграле.

Затем на отрезке [0;4] оси Ox была выбрана произвольная точка x, через которую проведена прямая, параллельная оси Oy, и на ней рассмотрен отрезок KL, содержащийся в области µ §.

Область µ § ограничена снизу прямой y=µ §, сверху ЁC прямой y=x. Переменная y изменяется в области µ § от ее значения µ § на нижней части контура OBC до ее значения x на верхней части этого контура. (Уравнения линий, ограничивающих область µ §, должны быть разрешены относительно той переменной, по которой вычисляется внутренний интеграл.)

Вычисления следует начинать с внутреннего интеграла µ §, в котором величина x должна рассматриваться как постоянная.

µ §=µ §=µ §.

Заметьте, что получилась функция переменной x, как это и следовало ожидать. Вычислим теперь интеграл:

µ §=µ §.

Вычислим теперь тот же двойной интеграл, изменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем производить по переменной x, а внешнее ЁC по переменной у.

Из чертежа видно, что левая часть контура области ЁC одна линия, а именно y = x, а его правая часть состоит из двух линий OB и BC, определяемых разными уравнениями: OB ЁC y=µ §; BC ЁC x=4. В этом случае область следует разбить на части так, чтобы каждая из них справа ограничивалась тоже одной линией, иначе говоря, линией, определяемой одним аналитическим выражением. Такими частями будут µ § ЁC OAB§ и µ § ЁC ABC. Область является суммой областей и . Интеграл представляется как сумма интегралов

µ §

Так как теперь внутренние интегралы будут вычисляться по переменной x, то уравнения линий, ограничивающих каждую из областей и , должны быть решены относительно этой переменной. Решая уравнения линий, ограничивающих области и относительно переменной x, получим, то область ограничена линиями: 1) x = y; 2) x = 2y; 3) y = 2, точка B имеет координаты (4;2). Область ограничена линями 1) y = 2: 2) x = y; 3) x = 4.

Спроектировав каждую из областей интегрирования и на ось Oy, получим пределы внешних интегралов: в первом интеграле ЁC 0 и 2, во втором интеграле 2 и 4. Выбрав на отрезке [0;2] произвольно точку y и проведя через нее прямую, параллельную оси Ox, замечая, что в области переменная x изменяется от ее значения, равного y на левой части контура (т.е. на OA), до ее значения, 2y на ее правой части (т.е на OB).

Таким образом, при интегрировании по области во внутреннем интеграле пределами будут y и 2y. Поэтому

§µ §.

При вычислении внутреннего интеграла переменная y должна считаться величиной постоянной (а пределы интегрирования есть функции переменной y, т.е. той переменной, которая при интегрировании остается величиной постоянной).

Вычисления начинаем с внутреннего интеграла:

µ §.

Следует заметить, что получилась функция переменной y, т.е той переменной, по которой вычисляется внешний интеграл.

Подставляем полученное выражение под знак внешнего интеграла:

µ §.

Пределы внешнего интеграла при интегрировании по области уже были определены: переменная y в этой области изменяется на отрезке [2;4], т.е от 2 до 4. Чтобы определить, в каких пределах в этой области изменяется переменная x, возьмем на отрезке [2;4] произвольную точку, проведем через нее прямую, параллельную оси Ox, и заметим, что на левой части AC контура области x имеет значение, равное y, на BC ЁC правой его части x = 4.

Таким образом, в области пределами интегрирования по x будут y и 4, а

µ §.

Внутренний интеграл (в нем y ЁC величина постоянная)

§.µ §

Получилась функция переменной y, т.е. той переменой, по которой вычисляется внешний интеграл. Подставляем полученное выражение под знак внешнего интеграла:

µ §.

Искомый интеграл равен сумме

µ §.

Поскольку подынтегральная функция §µ § непрерывна, то результаты вычислений, как и следовало ожидать, совпали: они не зависят от порядка интегрирования.

Из этого примера видно, что выбор порядка интегрирования не безразличен. Выбрав рационально порядок интегрирования, можно сократить вычисления.

Пример 2. На плоскости Оxy построить область интегрирования D в заданных пределах изменения переменных в повторном интеграле

µ §.

Изменить порядок интегрирования и вычислить интеграл при заданном и измененном порядках интегрирования.

Решение. Область интегрирования D расположена между прямыми x=0 и x=4, ограничена снизу параболой µ §§, сверху параболой y= 3µ § (рис. 1.9). Следовательно,

µ §.

Рис. 1.9.

С другой стороны, область интегрирования D расположена между прямыми y=0 и y=6, а переменная x изменяется в данной области при каждом фиксировано значении y от точек кривой µ §§ до точек кривой µ §§, т.е. имеем

µ §.

Пример 3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

µ §.

Решение. Область интегрирования D ограничена линиями x=0, x=1, y=x2 и y=2ЁCx (рис. 1.10). Так как правый участок границы области D задан двумя линиями, то прямая y=1 разбивает ее на области D1: 0ЎЬyЎЬ1, 0ЎЬxЎЬ и D2: §µ §, µ §.

В результате получаем

µ §.

Рис. 1.10.

Пример 4.Вычислить двойной интеграл

§µ §,

если область D ограничена линиями x + y = 2, x = 0, y = 0.

Решение. Область интегрирования D ограничена прямой y = 2 ЁC x и осями координат (рис. 1.11).

Рис. 1.11.

Следовательно,

µ §µ §µ §µ §

Пример 5. Найти среднее значение функции z = x + 6y в треугольнике, ограниченном прямыми y = x, y = 3x, x = 2.

Решение. Средним значением функции µ § в области µ §является число (см. свойство 7 двойных интегралов)

µ §.

Вычислим сначала площадь области D:

µ §.

Аналогично получаем

µ §µ §.

Таким образом,

µ §.

Примеры для самостоятельного решения.

Представить двойной интеграл µ §в виде повторного интеграла с внешним интегрированием по µ § и внешним интегрированием по µ §, если область µ § задана указанными линиями.

1.1. µ §.

1.2. µ §.

1.3. µ §.

1.4. µ §.

1.5. µ §.

1.6. µ §.

1.7. µ §.

1.8. µ §.

1.9. µ §.

1.10. µ §.

1.11. µ §.

1.12. µ §.

1.13. µ §.

1.14. µ §.

1.15. µ §.

1.16..µ §

1.17. µ §.

1.18. µ §.

1.19. µ §.

1.20. µ §.

Изменить порядок интегрирования, сделать чертёж области интегрирования.

1.21.µ §.

1.22.µ §.

1.23.µ §.

1.24.µ §.

1.25.µ §.

1.26. µ §.

1.27.µ §.

1.28.µ §.

1.29. µ §.

1.30.µ §.

1.31. µ §

1.32. µ §

1.33. µ §

1.34. µ §

1.35. µ §


Вычислить двойной интеграл по области µ §, ограниченной указанными линиями.

1.36. µ §

1.37. µ §

1.38. µ §

1.39. µ §

1.40. µ §

1.41. µ §

1.42. µ §

1.43. µ §

1.44. µ §

1.45. µ §

1.46. µ §

1.47. µ §

1.48. µ §

1.49. µ §

1.50. µ §

1.51. µ §

1.52. µ §

1.53. µ §

1.54. µ §

1.55. µ §

Ответы.

1.1. µ §

1.2. µ §

1.3. µ §

1.4. µ §

1.5. µ §

1.6. µ §

1.7. µ §

1.8. µ §

1.9. µ §

1.10. µ §

1.11. µ §

1.12. µ §

1.13. µ §

1.14. µ §

1.15. µ §

1.16. µ §

1.17. µ §

1.18. µ §

1.19. µ §

1.20. µ §

1.21. µ §

1.22. µ §

1.23. µ §

1.24. µ §

1.25. µ §

1.26. µ §

1.27. µ §

1.28. µ §

1.29. µ §

1.30. µ §

1.31.µ §.

1.32. µ §.

1.33. µ §.

1.34. µ §.

1.35. µ §.

1.36. 33/140

1.37. 1/40

1.38. 3/20

1.39. 1/6

1.40. 37/60

1.41. ЁC1/60

1.42. 875/12

1.43. 0

1.44. 207

1.45. ЁC1/2

1.46. ЁC4/7

1.47. 2/9

1.48. 88/105

1.49. 0

1.50. 2364/35

1.51. 8/15

1.52. 17/240

1.53. 0

1.54. ЁC625/3

1.55. ЁC224/15

2. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла в декартовой системе координат.


Вычисление площадей плоских фигур.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями µ §.

Решение.

µ §.

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: µ §; µ §; µ §µ §; µ § (см. рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Решение. Фигура ЁC параллелограмм. Его вершины находятся в точках: µ §(1,2); µ §(2,4); µ §(5,3); µ §(6,5). Область интегрирования разобьем на три части: µ §=µ §; µ §=µ §; µ §=µ §;

µ §

Вычислим каждый из этих двойных интегралов. В области µ § переменная µ § изменяется на отрезке [1,2]. Выбрав внутри этого отрезка произвольную точку с абсциссой µ §, проведем прямую, параллельную оси µ §. На отрезке этой прямой, находящемся в области µ §, переменная µ § изменяется от ее значения на отрезке µ § до ее значения на отрезке µ §. Из. уравнения стороны µ §

µ §.

Из уравнения стороны µ § µ §. Поэтому

µ §.

В области µ § переменная µ § изменяется на отрезке [2,5]. Выберем на нем произвольную точку µ §, проведем через нее прямую, параллельную оси µ §. На отрезке этой прямой, содержащемся в области µ §, переменная µ § изменяется от ее значения на прямой µ § до ее значения на прямой µ §. Уравнение прямой µ § уже разрешено относительно µ §, а из уравнения стороны µ § следует, что

µ §.

Поэтому

µ §.

В области µ § переменная µ § изменяется на отрезке [5,6], а переменная µ § ЁC от ее значения на прямой µ § до ее значения на прямой µ §. Из уравнения µ § µ §, а из уравнения прямой µ § µ §.

Таким образом,

µ §

Окончательно получаем, что µ §.

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную линиями µ §; µ §, µ §и µ §- положительны и µ §

Решение. Из рис. 2.2 видно, что первое интегрирование выгодно вести по переменной x, второе ЁC по y.

а

б

Рис. 2.2.

Решая систему уравнений

µ §

найдём координаты точки пересечения кривых:

µ §; µ §.

Следует учесть, что искомая площадь равна удвоенной площади фигуры ABC. В области ABC переменная x изменяется от ее значения µ §§ на AB до значения µ §§ на CB. Переменная y изменяется от 0 до µ § (ее значения в точке B).

Таким образом,

µ §µ §.

Если изменить порядок интегрирования, вычисляя внутренний интеграл по переменной y, а внешний ЁC по переменной x, то выкладки усложняются:

µ §

(для определения пределов во внутренних интегралах уравнения кривых разрешены относительно переменной y, т.е. той переменной, по которой ведется интегрирование). Поэтому так решать задачу нецелесообразно.

Вычисление объемов тел.

Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z=x2+y2, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.


Данное тело ограничено координатными плоскостями, плоскостью x+y=1, параллельной оси Oz, и параболоидом вращения z = x2 + y2 (рис. 2.3). На основании геометрического смысла двойного интеграла искомый объем V можно вычислить по формуле

µ §,

где область D ограничена треугольником, лежащим в плоскости Oxy, для которого 0 ЎЬ x ЎЬ1, 0ЎЬ y ЎЬ1 ЁC x.

Рис. 2.3.

Следовательно,

µ §

µ §.

Пример 5. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: 1). µ §; 2). x = c; 3). x = d; (c < d); 4). y = e; 5). y = f; (e < f); 6). z = 0.

Решение. Поверхностями, ограничивающими тело, являются: 1). эллиптический параболоид; 2). и 3). ЁC плоскости, параллельные плоскости yOz; 4). и 5). ЁC плоскости, параллельные плоскости xOz и 6). ЁC плоскость xOy (см. рис. 2.4). Заданное тело цилиндрическое.

µ §.

Рис. 2.4.

На плоскости xOy тело вырезает прямоугольник µ §, ограниченный прямыми линиями x = c; x = d; y = e; y = f. Первые две параллельны оси Oy, вторые две ЁC оси Ox. Как известно, в этом случае пределы интегрирования в повторном интеграле ЁC величины постоянные. Порядок интегрирования в данном случае безразличен.

Переходя к повторному интегралу и выполняя первое интегрирование по переменной x, а второе по переменной y, будем иметь

µ §.

Внутренний интеграл

µ §.

Подставляя значение внутреннего интеграла, получаем, вынося d ЁC c за знак интеграла,

µ §

µ §.

Пример 6. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: z=4x2 + 2y2 + 1; x + y ЁC 3 = 0; x = 0; y = 0; z = 0.

Решение. Первая поверхность ЁC эллиптический параболоид, у которого осью симметрии является ось Oz. Он пересекает ее в точке (0;0;1). Над плоскостью xOy параболоид приподнят на одну единицу масштаба, поверхность x + y ЁC 3 = 0 ЁC плоскость, параллельная оси Oz, а остальные поверхности ЁC координатные плоскости (см. рис. 2.5).

На плоскости xOy тело вырезает треугольник, ограниченный координатными осями и прямой x + y ЁC 3 = 0.

Объем тела вычисляется по формуле

µ §,

в которой область интегрирования µ § ЁC указанный треугольник, а z надо заменить его значением из уравнения той поверхности, которая сверху ограничивает тело. Преобразуем двойной интеграл в повторный, причем первое интегрирование (внутреннее) будем вести по переменной x, а второе (внешнее) ЁC по переменной y.

Рис. 2.5.

При постоянном y переменная x изменяется от x = 0 до x = 3 ЁC y (это значение x найдено из уравнения прямой x + y ЁC 3 = 0), а y изменяется от 0 до 3. Поэтому

µ §.

Вычисляем внутренний интеграл

µ §

µ §.

Подставляя это значение внутреннего интеграла, получаем

µ §

µ §.

Примеры для самостоятельного решения.

Вычислить площадь плоской области D, ограниченной заданными линиями.

2.1. D: y2 = 4x, x + y = 3, yµ §0.

2.2. D: y = 6x2, x + y = 2, x0.

2.3. D: y2 = x + 2, x = 2.

2.4. D: x = ЁC2y2, x =1 ЁC 3y2, y0, xµ §0

2.5. D: y = 8/(x2+4), x2= 4y.

2.6. D: y = x2 + 1, x + y = 3.

2.7. D: y2 = 4x, x2= 4y.

2.8. D: y = cos x, y0, y x + 1

2.9. D: x =§,µ § x0, y§µ §

2.10. D: y= x2 + 2, x = 2, y = x, x0.

2.11. D: y = 4x2, 9y = x2, y2.

2.12. D: y = x2, y = ЁC x.

2.13. D: y2 = x, x =µ §.

2.14. D: y =µ §, y = x2.

2.15. D: y = x2 + 4x, y = x + 4.

2.16. D: 2y = µ §, x + y = 5, x0.

2.17. D: y = 2x, y = 2x ЁC x2, x = 2, x = 0.

2.18. D: y = ЁC2x2 + 2, y ЁC 6.

2.19. D: y2 = 4x, x = 8/(y2 + 4).

2.20. D: y = 4 ЁC x2, y = x2 ЁC 2x.

Вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхностями.

2.21. z = x2 + y2, x + y = 1, x 0, y 0, z 0.

2.22. z = 2 ЁC (x2 + y2), x + 2y = 1, x 0, y 0, z 0.

2.23. z = x2, x ЁC 2y + 2 = 0, x + y ЁC 7 =0, z 0.

2.24. z = 2x2 + 3y2, y = x2, y = x, z 0.

2.25. z = 2x2 + y2, y =0,§ y = 3x, x = 2, z 0.

2.26. z = x, y = 4, x =µ §, x ЎЭ 0, y ЎЭ 0, z ЎЭ 0.

2.27. y =µ §, y = x, x + y + z = 2, z ЎЭ 0.

2.28. y = 1ЁCx2, x + y + z = 3, y ЎЭ 0, z ЎЭ 0.

2.29. z = 2x2+y2, x + y = 4, x ЎЭ 0, y ЎЭ 0, z ЎЭ 0.

2.30. z=4 ЁC x2, x2 +y2=4, x ЎЭ 0, y ЎЭ 0, z ЎЭ 0.

2.31. 2x+3yЁC12=0, 2z=y2, x ЎЭ 0, y ЎЭ 0, zЎЭ0.

2.32. z=10+x2+2y2, y=x, x=1, y ЎЭ 0, z ЎЭ 0.

2.33. z=x2, x + y=6, y=2x, z ЎЭ 0.

2.34. z=3x2+2y2+1, y = x2ЁC1, y = 1, z ЎЭ 0.

2.35 y2=1ЁCx, x + y + z=1, x=0, z=0.

2.36. y=x2, x=y2, z=3x + 2y+ 6, z=0.

2.37. x2=1ЁCy, x + y + z=3, yЎЭ0, zЎЭ0.

2.38 x=y2, x=1, x + y + z=4, z=0.

2.39. z=2x2+y2, x + y=1, x ЎЭ 0, y ЎЭ 0, z ЎЭ 0.

Ответы.

2.1. 10/3

2.2. 43/96

2.3. 32/3

2.4. 2/3ЁC2/(3µ §)

2.5. 2р ЁC 4/3

2.6. 9/2

2.7. 16/3

2.8. 3/2

2.9. 4р/3 +µ §

2.10. 14/3

2.11. 20  §/3

2.12. 1/6

2.13. 8/3

2.14. р/2 + 1/3

2.15. 125/6

2.16. 28/3

2.17.  §

2.18. 64/3

2.19. 2р ЁC 4/3

2.20. 9

2.21. 1/6

2.22. 53/96

2.23. 32

2.24. 29/140

2.25. 60

2.26. 118/3

2.27. 11/60

2.28. 52/15

2.29. 64

2.30. 3р

2.31. 16

2.32. 65/12

2.33. 4

2.34. 264 §/35

2.35. 49/60

2.36. 11/4

2.37. 52/15

2.38. 68/15

2.39. 1/4

3. Двойной интеграл в полярной системе координат.


Пусть переменные x, y связаны с переменными u, v соотношениями x=ц(u, v), y=µ §(u, v), где ц(u, v), µ §(u, v) ЁC непрерывные и дифференцируемые функции, взаимно однозначно отображающие область D плоскости Oxy на область D* плоскости O*uv, при этом якобиан

J=J(x, y)=µ §§

сохраняет постоянный знак в D. Тогда верна формула замены переменных в двойном интеграле:

µ §.

Пределы в новом интеграле расставляются с учетом вида области D*.

Пример1. Вычислить двойной интеграл

µ §

по области D плоскости Oxy, ограниченной линиями y=xЁC1, y=x+2, y=ЁCxЁC2, y=ЁCx+3.

Решение. Положим §µ §. Тогда прямые y=xЁC1 и y=x+2 перейдут соответственно в прямые u=ЁC1, u=2 плоскости O*uv, а прямые y=ЁCxЁC2, y=ЁCx+3 ЁC в прямые v=ЁC2 и v=3 этой же плоскости. При этом область D отобразится в прямоугольник D* плоскости O*uv, для которого ЁC1 ЎЬ u ЎЬ 2, ЁC2 ЎЬ v ЎЬ 3.

Из системы находим: µ §.

Следовательно,

J= µ §=µ §,

а §µ §=1/2. Поэтому,

µ §.

Известно, что прямоугольные декартовы (x, y) и полярные (µ §) координаты связаны между собой следующими соотношениями:

x=µ § cos ц, y=µ § sin ц, (µ § ЎЭ 0, 0 ЎЬ ц ЎЬ 2р).

Если в двойном интеграле перейти от декартовых к полярным координатам, то получим формулу (так как якобиан J=µ §)

µ §.

В обобщенных полярных координатах, для которых

x=aµ § cosц, y=bµ § sinц (µ § ЎЭ 0, 0 ЎЬ ц < 2р) имеем (так как якобиан J=abµ §):

µ §.

Представление двойных интегралов в виде повторных в правых частях формул приводит к разным пределам в зависимости от того, где находится полюс O полярной системы координат ЁC вне, внутри или на границе области D.

1. Если полюс О полярной системы координат находится вне области D, ограниченной лучами ц=б, ц=в (б < в) и линиями AmB, AnB (их уравнения соответственно µ §=µ §1 (ц), µ §=µ §2(ц), где µ §1 (ц), µ §2(ц) (µ §1 (ц), ЎЬ µ §2(ц)) ЁC функции, заданные на отрезке [б;в],то двойной интеграл в полярных координатах сводится к повторному интегралу по правилу (рис. 3.1).

µ §.

а

б

Рис. 3.1.

2. Если полюс О находится внутри области D и уравнение границы области D в полярной системе координат имеет вид µ §=µ § (ц), то в формуле б=0, в=2р, µ §1(ц)=0, µ §2(ц)= µ § (ц) (рис. 3.2).

3. Если полюс О находится на границе области D и уравнение ее границы в полярной системе координат имеет вид µ §=µ § (ц), то в формуле µ §1(ц)=0, µ §2(ц)= µ § (ц), а б и в могут принимать различные значения (рис. 3.3, 3.4).

Рис. 3.2.

Рис. 3.3.

Рис. 3.4.

Аналогичные формулы имеют место и для случая обобщенных полярных координат.

Пример 2: Вычислить µ §§, если область D ЁC круг радиусом R с центром в начале координат.

Решение. Если область D ЁC круг или его часть, то многие интегралы проще вычислить в полярных координатах. Согласно формуле, имеем:

µ §

µ §

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

µ §.

Решение. В интеграле µ §§, выражающем площадь эллипса в декартовой системе координат, перейдем к обобщенным полярным координатам. Уравнение эллипса в обобщенных полярных координатах имеет вид µ §=1. Следовательно, получаем

µ §.

Пример 4. Вычислить двойной интеграл

µ §,

где область µ § ограничена линиями µ §=R и µ §=2Rsinц.

Решение. Чтобы определить, как изменяется в области µ § полярный угол ц, проведем лучи в точки A и B области µ §. Решая совместно уравнения линий, ограничивающих область µ §, найдем значения угла ц, соответствующие лучам OA и OB (рис. 3.5).

§µ §.

Отсюда 2Rsinц=R; sinц=1/2; µ §; µ §.

Таким образом, угол  § в области µ § изменяется от µ § до .

Рис. 3.5.

Теперь найдем пределы изменения полярного радиуса в области µ §. Под произвольным углом ц, взятым в промежутке [§],проведем из полюса луч OD. В точку C входа этого луча в область µ § µ §, а в точке D выхода его из области µ § µ § и полярный радиус изменяется в области µ § от до . Поэтому нижний и верхний пределы на внутреннем интеграле равны соответственно и . Тогда

µ §

(Мы вынесли за знак внутреннего интеграла, так как при вычислении интеграла переменная µ § сохраняет постоянное значение).

Внутренний интеграл

µ §.

Внешний интеграл

µ §µ §µ §

µ §µ §µ §.

Пример 5. Вычислить двойной интеграл µ §, где µ § ЁC область, ограниченная полярной осью и кривой µ § с дополнительным условием: полярный угол µ §.

Решение. Кривая ЁC лемниската (рис. 3.6). Определим, как изменяется угол в области µ §. С увеличением угла (при условии ) полярный радиус уменьшается. При некотором значении он станет равным нулю. Найдем это значение .

Рис. 3.6.

Подставим в уравнение лемнискаты и получим уравнение для определения:

µ §§; µ §§; µ §§; µ §.

(Учтено условие, что ).

Таким образом, в области µ § полярный угол изменяется от 0 до µ §.

Чтобы узнать, как изменяется в области µ § полярный радиус , проведем луч, пересекающий область µ § под произвольным углом µ § (µ §)§. Луч входит в область µ § в полюсе, т.е. при и выходит из нее в точке А на лемнискате. В этой точке µ §§. Тогда

µ §.

Внутренний интеграл

µ §.

Внешний интеграл

µ §.

Примеры для самостоятельного решения.

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты.

3.1 µ §.

3.2 §µ §.

3.3 §µ §

3.4 §µ §

3.5 §µ §

3.6 §µ §

3.7 §µ §

3.8 §µ §, где µ §

3.9 §µ §

3.10 §µ §

3.11 §µ §

3.12 §µ §

3.13 §µ §

3.14 §µ §

3.15 §µ §

3.16 §µ §

3.17 §µ §

3.18 §µ §

3.19 §µ §, где µ §

3.20 §µ §

Перейдя к полярным координатам, найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертеж.

3.21 µ §.

3.22 µ §§.

3.23 µ §.

3.24 µ §.

3.25 µ §.

3.26 µ §.

3.27 µ §.

3.28 µ §.

3.29 µ §.

3.30 µ §.

3.31 µ §.

3.32 µ §.

3.33 µ §.

3.34 µ §.

3.35 µ §.

С помощью двойных интегралов вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями.

3.36 µ §.

3.37 µ §.

3.38 µ §.

3.39. µ §.

3.40. µ §.

3.41. µ §.

3.42. µ §.

3.43. µ §.

3.44. µ §.

3.45. µ §.

3.46. µ §.

3.47. µ §.

3.48. µ §.

3.49. µ §.

3.50. µ §.

3.51. µ §.

3.52. .

3.53. .

3.54. .

3.55. µ §.

Ответы.

3.1. µ §

3.2. µ §

3.3. µ §

3.4. µ §

3.5. µ §

3.6. 0

3.7. µ §

3.8. µ §

3.9. µ §

3.10. µ §

3.11. µ §

3.12. µ §

3.13. µ §

3.14. µ §

3.15. µ §

3.16. µ §

3.17. µ §

3.18. 4/3

3.19. µ §

3.20. 0

3.21. µ §

3.22. µ §

3.23. µ §

3.24. µ §

3.25. µ §

3.26. µ §

3.27. µ §

3.28. µ §

3.29. µ §

3.30. µ §

3.31. µ §

3.32. µ §

3.33. µ §

3.34. µ §

3.35. µ §

3.36. µ §

3.37. µ §

3.38. µ §

3.39. µ §

3.40. µ §

3.41. µ §

3.42. µ §

3.43. µ §

3.44. µ §

3.45. µ §

3.46. µ §

3.47. µ §

3.48. µ §

3.49. µ §

3.50. µ §

3.51. µ §

3.52. µ §

3.53. µ §

3.54. µ §

3.55. µ §

4. Криволинейный интеграл. Формула Грина.


Криволинейные интегралы второго рода (по координатам). Пусть в пространстве µ §§ задан вектор µ §, координаты которого ЁC непрерывные функции в точках ориентированной кривой µ §. Кривую разобьем в направлении от А к В на N элементарных дуг µ § и построим векторы µ §§, где µ §§, µ §§, µ § ЁC проекции вектора µ § на оси координат. Начала этих векторов совпадают с началами элементарных дуг , а концы ЁC с их концами (рис. 4.1). На каждой элементарной части выберем произвольную точку µ §§ и составим интегральную сумму

§µ §.

Рис. 4.1.

Предел этой суммы, найденный при условии, что все µ §§, называется криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатам от вектор-функции µ § по кривой и обозначается

µ §.

Если функции µ §, µ §, µ §§ непрерывны в точках гладкой кривой , то предел интегральной суммы существует, т.е. существует криволинейный интеграл второго рода.

Криволинейные интегралы второго рода обладают основными свойствами определенных интегралов (линейность, аддитивность).

Непосредственно из определения криволинейного интеграла второго рода следует, например, что он зависит от направления интегрирования вдоль кривой, т.е. меняет знак при изменении ориентации кривой:

µ §

Если кривая интегрирования L замкнута, криволинейные интегралы второго рода обозначаются µ §§. В этом случае через кривую  L § проводится ориентированная поверхность и за положительное направление обхода по L принимается такое направление, при котором область поверхности, ограниченная кривой L, находится слева, если двигаться вдоль L по выбранной стороне указанной поверхности (т.е. обход контура L совершается против хода часовой стрелки).

Если плоскую область D, ограниченную кривой L, разбить на части, не имеющие общих внутренних точек и ограниченные замкнутыми кривыми µ § и µ §, то

µ §,

где направление обхода по контурам L, µ § и µ § ЁC всюду либо положительные, либо отрицательные.

Если гладкая кривая задана параметрическими уравнениями µ §, µ §, µ §, где µ §, µ §, µ §§ ЁC непрерывно дифференцируемые функции, µ §§ и µ §§ ЁC соответственно начальная и конечная точки этой кривой, то верна следующая формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода:

µ §

µ §

Если кривая лежит в плоскости Oxy, µ §§ то µ §, µ §§ и формула упрощается:

µ §

Если кривая лежит в плоскости  Oxy § и задана уравнением µ §, производная µ § непрерывна на отрезке µ §§, , то

µ §

Криволинейные интеграл второго рода в случае, когда µ § ЁC сила, под действием которой перемещается тело, определяет работу этой силы § на пути µ §. В этом заключается физический смысл криволинейного интеграла второго рода.

Теорема (Грина). Если функции µ § и µ § непрерывны и имеют непрерывные частые производные в замкнутой односвязной области µ §§, лежащей в плоскости µ § и ограниченной кусочно-гладкой кривой µ §, то

µ §,

где интегрирование по контуру µ § выполняется в положительном направлении.

Формула из теоремы Грина называется формулой Грина.

Если в некоторой области выполнены условия теоремы Грина, то равносильны следующие утверждения:

µ §, если µ § ЁC любой замкнутый контур , расположенный в области .

Интеграл µ § не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки А §и В, где µ §.

µ §§, где ЁC полный дифференциал функции µ §.

Во всех точках области справедливо равенство

µ §.

Из формулы Грина следует, что площадь µ § области можно также вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода:

µ §,

где интегрирование по контуру µ § производится в положительном направлении.

Пример 1. Вычислить

µ §,

где µ § ЁC отрезок прямой, соединяющий точки µ § и µ §.

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой АВ: µ §, µ §, µ §. На отрезке АВ § . Поэтому,

µ §.

Пример 2. Вычислить

µ §,

если L ЁC кривая пересечения цилиндра µ § с плоскостью µ §, пробегаемая в положительном направлении относительно выбранной верхней стороны данной плоскости.

Решение. Найдем параметрические уравнения кривой L. Так как проекция кривой L на плоскость Oxy есть окружность , µ §, то можно записать, что µ §, µ §. Тогда из уравнения плоскости находим, что µ §. Таким образом,

µ §; µ §; µ §.

Отсюда имеем:

µ §µ §.

Пример 3. Вычислить

µ §,

если линия дуга параболы µ § расположенная между точками µ § и µ §§.

Решение.

§.µ §.

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

µ §,

если L ЁC дуга параболы µ § от точки µ § до точки µ §.

Решение.

µ §.

Пример 5. Вычислить интеграл

µ §,

Где L есть четверть окружности µ §, лежащая в первой четверти, пробегаемая против часовой стрелки.

Решение. Из уравнения окружности выразим y: µ §. Перед корнем следует выбрать знак плюс, так как в первой четверти µ §. Найдем теперь µ §:

µ §.

Учитывая, что интегрирование ведется против часовой стрелки, пределы интегрирования по х будут R и 0. Таким образом,

µ §µ §.

Пример 6. Вычислить работу А силы µ § вдоль отрезка прямой ВС, если µ § и µ §.

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой ВС: µ §, µ §, µ §, где µ §. Тогда работа А§ силы F§ на пути ВС§ вычисляется по формуле

µ §µ §.

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой µ § (рис. 4.2).

Рис. 4.2.

Решение. Из уравнения кривой получим, что µ §, т.е. кривая симметрична относительно оси µ § и пересекает ее в точках µ § и µ §; обе функции определены при µ §, а µ § при µ §. Перейдем к параметрическим уравнениям данной кривой, положив µ §. Подставим в уравнение , получим µ §? µ §, µ §, где для петли µ §.

Следовательно, искомая площадь

µ §.

Пример 8. Вычислить

µ §,

где µ § ЁC окружность µ §, пробегаемая в положительном направлении обхода.

Решение. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина:

µ §,

где µ § ЁC круг, определяемый неравенством µ §§. Имеем

µ §

µ §.

Пример 9. Применяя формулу Грина, показать, что криволинейный интеграл

µ §

по любому замкнутому контуру равен нулю.

Решение.

µ §.

Доказать, что данный криволинейный интеграл , вычисленный по замкнутому контуру равен нулю, можно и не прибегая к формуле Грина. Из равенства µ § следует, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, а в этом случае криволинейный интеграл по замкнутому контуру, при соблюдении известных условий, равен нулю.

Пример 10. Вычислить, применяя формулу Грина, интеграл

µ §,

где C ЁC окружность µ §,§ пробегаемая в положительном направлении.

Решение.

µ §,

где D ЁC круг, ограниченный окружностью .

Вычисление полученного двойного интеграла удобно провести в полярных координатах:

µ §.

Подчеркнем, что формулу Грина можно применять только тогда, когда функции P(x , y) и Q(x, y) и их частные производные µ § и §µ § непрерывны в замкнутой области D, т.е. внутри области D и на ее контуре. Так, например, приводя интеграл

µ §

к двойному интегралу по формуле Грина, следует найти µ § и §µ §. Окажется, что

µ §, т.е. µ §,

а поэтому двойной интеграл будет равен нулю, следовательно, и данный интеграл I, вычисленный по любому замкнутому контуру, равен нулю. Однако такое заключение для любого замкнутого контура является неверным. Например, если вычислить этот интеграл по окружности x =µ §, y = µ § (0ЎЬtЎЬ2р) с центром в начале координат, то можно легко проверить, что он будет равен не нулю, как это следует из формулы Грина, а 2р (проверьте!).

Такое несовпадение результатов объясняется тем, что в круге D с центром в начале координат подынтегральные функции P(x, y) = µ §§ и Q(x, y) = µ §§не являются непрерывными.

Интеграл I будет равен нулю только тогда, когда область D не содержит внутри себя начало координат.

Примеры для самостоятельного решения.

Вычислить криволинейные интегралы.

4.1. µ §, где µ § ЁC дуга параболы µ § от точки µ § до точки µ §.

4.2. µ §, где µ § ЁC ломаная OBA; µ §, µ §, µ §.

4.3. µ §, где L ЁC дуга циклоиды µ §, µ §, р/6ЎЬtЎЬр/3.

4.4. µ §, гдеµ § ЁC дуга параболы µ § от точки µ § до точки µ §.

4.5. µ §, где µ § ЁC дуга параболы µ § от точки µ § до точки µ §.

4.6. µ §, где µ § ЁC отрезок прямой, соединяющий точки µ § и µ §

4.7. µ §, где L ЁC четверть дуги окружности µ §, µ §, лежащая в первом квадранте и пробегаемая против часовой стрелки.

4.8. µ §, где µ § ЁC дуга кривой µ § от точки µ § до точки µ §.

4.9. µ §, где L ЁC эллипс µ §, µ §, пробегаемый против часовой стрелки.

4.10. µ §, где L ЁC контур треугольника, образованного прямыми µ §, µ §, µ §при положительном направлении обхода контура.

4.11.µ §, где L ЁC дуга синусоиды µ § от точки µ § до точки µ §.

4.12. µ §, где L ЁC верхняя половина эллипса µ §, µ §, пробегаемая по часовой стрелке.

4.13. µ §, где µ § ЁC дуга кривой µ § от точки µ § до точки µ §.

4.14. µ §, где L ЁC верхняя половина окружности µ § при положительном направлении обхода.

4.15. µ §, где L ЁC верхняя половина окружности µ § при положительном направлении обхода.

4.16. µ §, где L ЁC контур прямоугольника, образованного прямыми µ §, µ §, µ §, µ § при положительном направлении обхода контура.

4.17. µ §, где µ § ЁC отрезок прямой, соединяющей точки µ § и B(3, 6).

4.18. µ §, где L ЁCэллипс µ §, µ § при положительном направлении обхода контура.

4.19. µ §, где µ § ЁC дуга параболы µ § от точки µ § до точки A(2, 1).

Ответы.

4.1. 31/30

4.2. ЁC4

4.3. µ §

4.4. 0

4.5. 14/3 ЁC µ §

4.6. ЁC2µ §

4.7. µ §

4.8. 11/20

4.9. -2рab

4.10. 2

4.11. 2

4.12. µ §

4.13. ЁC8/15

4.14.  §4/3

4.15. рR2/2

4.16. 2

4.17. 18

4.18. ЁC48р

4.19. 2,4

5. Криволинейный интеграл, независящий от пути интегрирования


С помощью теории криволинейных интегралов второго рода можно решить следующую задачу. Известно дифференциальное выражение µ §, которое является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y). Требуется найти эту функцию.

Для решения данной задачи используется формула

µ §

или

µ §,

где точки M0(x0, y0) и M(x, y) принадлежат области D, в которой P(x,y), Q(x,y) и их частные производные являются непрерывными функциями; C ЁC произвольная постоянная.

Пример 1. Показать, что дифференциальное выражение

µ §

будет полным дифференциалом некоторой функции U(x, y), и найти эту функцию.

Решение. Так как µ § и µ §, то во всех точках плоскости Oxy, исключая точки, лежащие на осях координат, данное дифференциальное выражение будет полным дифференциалом некоторой функции u(x, y). Теперь воспользуемся формулой, где можно взять M0(1, 1).

µ §

µ §,

где C ЁC произвольная постоянная.

Пример 2. Показать, что выражение

µ §

является полным дифференциалом функции U(x,y). Найти функцию U(x,y).

Решение. Проверим, выполняется ли условие полного дифференциала µ § для функции U(x,y). Имеем:

µ §, µ §,

µ §,

µ §,

т.е. данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y). Положив x0=0, y0=0, найдем U(x,y):

µ §+(arctg xy ЁC10y)µ §+C=

=ЁC x + arctg xy ЁC10y+C.

Результат вычислений верен, если

µ § µ §

Сделаем проверку:

µ §arctg xy ЁC10y + C) = ЁC1 + µ §

µ § arctg xy ЁC10y + C) =µ § ЁC 10.

Итак, U(x,y) = arctg xy ЁC x ЁC 10y + C.

Пример 3. Вычислить интеграл

I =µ §

где L ЁC одна из линий, соединяющих точки О(0,0) и А(2,2):

отрезок прямой, соединяющий эти точки;

парабола µ §

парабола µ §

Решение. 1) Уравнение прямой: y=x. Поэтому dy = dx. Заменяя в подынтегральном выражении y на x, а dy на dx получим, что

I = µ § + (2x ЁC µ §.

2) Из уравнения кривой µ § следует , что dy = xdx. Заменяя в подынтегральном выражении y на µ §, а dy на xdx получим, что

I=µ §= µ §

3)Так как уравнение линии µ §, то dx=ydy. Заменяя в подынтегральном выражении х на µ §, а dx на ydy, получим учитывая, что у изменяется от 0 до 2,

I = µ §

=µ §µ §

Итак, по какой бы из указанных кривых, соединяющих точки (0,0) и (2,2), мы ни вычисляли этот интеграл, оказывается, что он равен одному и тому же числу. Иначе говоря, величина заданного интеграла не зависит от того, по какой из указанных кривых, соединяющих эти точки, он вычисляется. Можно показать, что и вообще величина этого интеграла по любой кривой, соединяющей две заданные точки, окажется одной и той же.

Этот интеграл также равен ЁC88, если его вычислить и по ломанной ОСА, состоящей из отрезка ОС оси Ох и отрезка СА прямой х=2.

В этом случае на отрезке ОС у=0; dy=0. По отрезку ОС I=0 вследствие того, что под знаком интеграла стоят у=0 и dy=0.

На отрезке СА: х=2, dx=0, y изменяется от 0 до 2

I = µ §µ §.

Самостоятельно покажите, что этот интеграл также будет равен ЁC88, если его вычислить по ломанной ОВА (В(0,2)). На отрезке ОВ х=0, следовательно I=0, на ВА у=2, dy=0 (дифференциал постоянной величины равен нулю).

Решение этой задачи показывает, что подынтегральное выражение в криволинейном интеграле второго типа может быть таким, что величина интеграла не зависит от той линии, по которой ведется интегрирование, а определяется только координатами начальной и конечной точек этой линии. (В таком случае говорят, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).

В общем случае, при одном и том же подынтегральном выражении величина криволинейного интеграла зависит от формы пути, по которому он вычисляется (иначе говоря, от кривой, по которой он берется) и от координат начальной и конечной точек этого пути.

Криволинейный интеграл

µ §

называется независящим от формы пути интегрирования в области D, если каковы бы ни были точки А и В, принадлежащие области D, значение этого интеграла остается одним и тем же независимо от того, по какой линии с началом в точке А и концом в точке В он вычисляется лишь бы эта линия целиком лежала в области D.

Конечная область D называется односвязной, если она ограничена единственным замкнутым контуром. (Иначе говоря, односвязность области означает, что в ней отсутствуют дыры, а это в свою очередь позволяет любой замкнутый контур, лежащий внутри такой области, стянуть в точку не выходя за пределы этой области).

Приведем теорему, которая указывает необходимое и достаточное условие того, что криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования.

Теорема. Если функция Р(x, у) и Q(x, y) определены и непрерывны вместе со своими частными производными µ § и µ § в замкнутой ограниченной односвязной области D, то, для того чтобы криволинейный интеграл

µ §

не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области выполнялось условие

µ §.

Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение Р(x,у)dх+Q(x,y)dу являлось полным дифференциалом некоторой функции, определенной в области D. Поэтому можно утверждать, что для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования АВ, а только от его концов, необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение Рdх+Qdу было полным дифференциалом некоторой функции.

Если выражение Рdх+Qdу является полным дифференциалом некоторой функции, то криволинейный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, лежащему в односвязной ограниченной замкнутой области D, равен нулю.

Если путь, по которому вычисляется криволинейный интеграл безразличен, то употребляется обозначение

µ §,

где (хµ §,уµ §) и (хµ §,уµ §) координаты начала и конца пути интегрирования, а в качестве пути интегрирования в этом случае обыкновенно выбирается самый простой путь ЁC отрезок прямой, соединяющий точки (хµ §,уµ §) и (хµ §,уµ §).

Пример 4. Выяснить, будет ли криволинейный интеграл

µ §

зависеть от формы пути интегрирования.

Решение. Здесь функция Р(x,у)=6ху+4уµ §+5у, а функция Q(x,y)=3хµ §+8ху+5х.

Интеграл не будет зависеть от формы пути интегрирования, если будет выполнено условие µ §. Чтобы проверить его выполнение, найдем частные производные: от функции Р(x,у) по независимой переменной у, а от функции Q(x,y) по независимой переменной х. (Заметим для запоминания, что частные производные нужно брать по «чужой» переменной. Так, функция Р(x, у) умножается под знаком интеграла на дифференциал переменной х, а частная производная от нее берется по переменной у, а функция Q(x,y) умножается в подынтегральном выражении на дифференциал переменной у, а частная производная от нее берется по переменной х).

µ §; µ §; µ §,

т. е. криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования.

Вычислим этот интеграл по пути, соединяющему начало координат с точкой А(2,3). Так как от формы пути, как мы показали, он не зависит, то одним из простых путей интегрирования является отрезок прямой, соединяющий начало координат с точкой А(2,3). Уравнение пути интегрирования: µ §. Поэтому, подставляя под знак интеграла µ § вместо у, получим

µ §

µ §

(учтено, что если µ §, то µ §).

Рис. 5.1.

Вычислите этот же интеграл по ломаной ОАВ (Рис. 5.1) и убедитесь, что получится 138 (на ОА переменная у равна 0, на АВ переменная х равна 2, а y изменяется от 0 до3).

Пример 5. Будет ли криволинейный интеграл

µ §

взятый по замкнутому контуру, равен нулю?

Решение. При выполнении условия µ § криволинейный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, равен нулю. Поэтому, чтобы ответить на вопрос задачи, следует только убедиться в том, что условие это выполнено. У нас

µ § µ §

Поэтому

µ §µ §.

Значит, µ § и на вопрос задачи следует дать утвердительный ответ: заданный интеграл, если его взять по замкнутому контуру, равен нулю. При этом следует указать, что этот контур не должен ни охватить, ни проходить через точку с абсциссой х=0.

Пример 6. Будет ли криволинейный интеграл

µ §

где L замкнутый контур, равен нулю? Подтвердить полученное заключение непосредственным вычислением по какому-нибудь замкнутому контуру.

Решение. Проверим, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом. У нас

µ § µ §

µ §

Этим доказано, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и, значит, можно утвердительно ответить на вопрос задачи: по замкнутому контуру заданный интеграл равен нулю.

Теперь, подтвердим это заключение непосредственным вычислением этого интеграла по какому-нибудь замкнутому контуру. В качестве такого контура выберем, например, окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Параметрические уравнения такой окружности

µ § µ §

Тогда µ § µ §; µ §; µ §; µ §

Подынтегральное выражение

µ §

По этому контуру интеграл равен нулю. По любому другому замкнутому контуру он также окажется равным нулю.

Уравнение окружности можно было задать и не параметрическими уравнениями, а в виде µ §. Тогда, дифференцируя, получим: µ § или µ §. Поэтому, подынтегральная функция равна нулю.

Вычислите этот же интеграл по периметру треугольника с вершинами в точках (0,0); (1,0); (1,1).


Примеры для самостоятельного решения.

Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции µ §. Найти функцию µ §.

5.1. µ §.

5.2. µ §.

5.3. µ §.

5.4. µ §

5.5. µ §

5.6. µ §

5.7. µ §

5.8. µ §

5.9. µ §

5.10. µ §

5.11. µ §

5.12. µ §

5.13. µ §

5.14. µ §

5.15. µ §

5.16. µ §

5.17. µ §

5.18. µ §

5.19. µ §

5.20. µ §

5.21. Вычислить криволинейный интеграл µ §.

5.22. Вычислить криволинейный интеграл µ § от точки µ § до точки µ §.

5.23. Вычислить криволинейный интеграл µ § от точки µ § до точки µ §.

5.24. Вычислить криволинейный интеграл µ §, где µ §, µ §.

5.25. Вычислить криволинейный интеграл µ §, где µ §, µ §.

5.26. Вычислить криволинейный интеграл µ §, где µ § ЁC окружность µ §.

Ответы.

5.1. µ §

5.2. µ §

5.3. µ §

5.4. µ §

5.5. µ §

5.6. µ §

5.7. µ §

5.8. µ §

5.9. µ §

5.10. µ §

5.11. µ §

5.12. µ §

5.13. µ §

5.14. µ §

5.15. µ §

5.16. µ §

5.17. µ §

5.18. µ §

5.19. µ §

5.20. µ §

5.21. 0

5.22. 1

5.23. ЁC2

5.24. 2

5.25. ЁC1

5.26. 0


Добавить документ в свой блог или на сайт


Похожие:



Если Вам понравился наш сайт, Вы можеть разместить кнопку на своём сайте или блоге:
refdt.ru


©refdt.ru 2000-2013
условием копирования является указание активной ссылки
обратиться к администрации
refdt.ru