Методические указания для студентов заочной формы обучения Составители Л. И. Лесняк, > М. В. Зголич



НазваниеМетодические указания для студентов заочной формы обучения Составители Л. И. Лесняк, > М. В. Зголич
страница1/3
Дата15.07.2013
Размер0.86 Mb.
ТипМетодические указания
источник
  1   2   3



Федеральное агентство по образованию


Томский государственный

архитектурно-строительный университет





      1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ




Методические указания для студентов заочной

формы обучения


Составители Л.И. Лесняк,

М.В. Зголич





Томск 2008

Введение в математический анализ: методические указания / Сост. Л.И. Лесняк, М.В. Зголич. – Томск: Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2008. – 76 с.


Рецензент профессор Н.Н. Белов

Редактор Е.Ю. Глотова


Методические указания предназначены для студентов первого курса общеобразовательного факультета ТГАСУ заочной формы обучения. Рекомендуется использовать при изучении раздела «Введение в математический анализ» и выполнении контрольной работы № 3. Указания содержат введение, краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач, методические рекомендации по решению типовых задач, варианты контрольных заданий и список рекомендуемой литературы. Методические указания могут быть использованы студентами первого курса очной и дистанционной форм обучения.


Печатаются по решению методического семинара кафедры высшей математики, протокол № 2 от 20 ноября 2007 г.


Утверждены и введены в действие проректором по учебной работе В.В. Дзюбо


с 01.09.2008

до 01.09.2013


Подписано в печать.

Формат 60х90х16. Бумага офсет. Гарнитура Таймс, печать офсет.

Уч.-изд. л. 4. Тираж 250 экз. Заказ №

Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2.

Отпечатано с оригинал-макета в ОПП ТГАСУ.

634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15.

ВВЕДЕНИЕ


Все что окружает человека, непрестанно изменяется, и вся практическая деятельность человека направлена на изменение окружающего мира. Изучение характера изменения различных величин, поиск закономерностей, которым эти изменения подчиняются – основная задача аппарата математики, который принято называть математическим анализом. Фундаментом математического анализа является раздел «Введение в математический анализ». Изучению этого раздела и посвящены данные методические указания.

Методические указания составлены так, чтобы помочь студенту, приступающему к изучению высшей математики, организовать свою самостоятельную работу, разобраться в обилии определений и теорем начал математического анализа, выделить и усвоить главное, приобрести прочные навыки решения задач различного уровня сложности.


Содержание указаний разбито на темы:

1. Понятие функции.

2. Понятие предела функции.

3. Понятие непрерывности функции в точке.

4. Техника вычисления пределов.

5. Классификация точек разрыва функции.


Изложение каждой темы содержит:

1. Основные теоретические сведения, которые представлены в виде вопросов и ответов с необходимыми комментариями. Многие из вопросов носят проблемный характер. Предполагается, что свой вариант ответа студент может сравнить с предложенным и сделать соответствующий вывод. Всюду, где это необходимо, теоретический материал иллюстрируется графически, что значительно облегчает усвоение теории.

2. Методические рекомендации по решению типовых задач. Помимо задач вычислительного характера рассмотрены задачи на качественное усвоение теории. Сложность рассмотренных в каждой теме задач повышается постепенно. Задачи предлагаются в количестве, достаточном для приобретения навыка решения каждого из заданий, являющихся для студентов заочной формы обучения содержанием контрольной работы № 3.

Условия задач и таблица с номерами контрольных заданий для каждого варианта приведены в конце пособия. Напомним, что студент должен выполнить контрольное задание по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного шифра.


^ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ


    1. Â связи с чем возникло понятие функции?


Изучение любого процесса происходит путем изучения характера изменения переменных величин, участвующих в этом процессе. При этом, как правило, характер изменения одних величин зависит от характера изменения других. Понятие функции возникло в связи с необходимостью каким-то образом описать эту зависимость.


1.2. Каким должен быть характер изменения

двух переменных величин, чтобы одна из

них являлась функцией другой?

Функция считается заданной, если задан закон, по которому каждому значению переменной x из некоторого множества X ставится в соответствие единственное значение переменной у из множества Y, в котором эта переменная принимает свои значения.

Для функциональной зависимости приняты обозначения: y = f(x), y = φ(x), y = F(x) и т. п. Множество Х называется областью определения функции, переменная x независимой переменной или аргументом, множество {f(x)} называют областью значений функции y = f(x) (очевидно {f(x)}Y ).

Часто в качестве синонима слова «функция» используется термин «отображение», при этом говорят, что задано отображение множества X во множества Y и используют обозначение: . Если и , то функция y = f(x) называется вещественнозначной функцией вещественной переменной.

Роль аргумента может играть время, длина дуги, угол и другие переменные величины.

Пример. Материальная точка падает в пустоте под
действием силы тяжести с высоты h. Обозначим через y высоту точки в момент времени t, протекшего от начала движения.
Очевидно, что значение переменной y будет зависеть от значений t, и, следовательно, y является функцией аргумента t. Из курса физики известно, что зависимость y от t выражается формулой

.

В момент падения y = 0 . Это означает, что аргумент t принимает свои значения на промежутке , который является областью определения функции. При этом , то есть промежуток – множество значений функции .

1.3. Как можно задать функцию?


В рассмотренном примере зависимость у от t задана с помощью формулы. Такой способ задания функции называется аналитическим. Одним из простейших примеров функции, заданной аналитически, является функция у = aх2, где а – некоторая константа. Такой характер зависимости, когда одна переменная принимает свои значения в зависимости от квадрата значения другой переменной, встречается довольно часто. Приведем несколько примеров.


1. S = π r2 – зависимость площади круга от его радиуса;

2. – зависимость пути от времени при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью;

3. – зависимость кинетической энергии движущейся материальной точки массы m от скорости движения.


 курсе математики, как правило, отвлекаясь от физической (или иной) сущности взаимноизменяющихся величин, изучают лишь сам характер зависимости. Во всех приведенных примерах для математика это одна и та же функция

у = àõ2.

Если область определения функции, заданной аналитически, не указана, то под областью определения подразумевается множество X значений x, при которых аналитическое выражение, с помощью которого задается функция y = f(x), имеет смысл. Например, функция определена при условии, что 1 – x 2 0, то есть для .

В приложениях математики широко используется табличный способ задания функции. При этом способе указываются значения функции в нескольких точках из области ее определения. К функциям, задаваемым таблично, обычно прибегают в результате обработки экспериментальных данных.

В технических приложениях математики часто используется графическое задание функции. В этом случае специальные приборы воспроизводят на экране графическое изображение функции, с помощью которого делается заключение о характере функциональной зависимости.


1.4. Какие ôункции принято называть простейшими

элементарными функциями?


Существует 7 классов простейших элементарных функций:


1. Целая рациональная функция (многочлен)

y = Pn(x) = anxn+ an – 1xn – 1+ … + a1x + a0 ,

где , ai – коэффициенты многочлена (действительные числа), X = (–∞; ∞). Множество значений многочлена зависит от его коэффициентов. Простейшими рациональными функциями являются:

y = kx + b – линейная функция,

y = ax2 + bx + c – квадратный трехчлен.

2. Дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)

.


Функция определена при всех действительных x, за исключением точек, в которых Q(x) = 0.

Простейшей функцией этого класса является

, .

3. Степенная функция

y = x λ , где .

Область определения и множество значений зависят от показателя степени λ . Примеры степенных функций:

y = x2 , X = (–∞; ∞) , Y = [0; ∞);

y = x3 , X = (–∞; ∞) , Y = (–∞; ∞);

или y = x1/2 , X = [0; ∞) , Y = [0; ∞);

или y = x1/3 , X = (–∞; ∞), Y = (–∞; ∞);

или y = x1/2 , X = (0; ∞) , Y = (0; ∞).

4. Показательная функция

y = ax , где a>0 , a≠1, X = (–∞; ∞) , Y = (0; ∞);

y = ex , где e=2.718281828459045…,

X = (–∞; ∞), Y = (0; ∞).

5. Логарифмическая функция

y = loga x, где a>0 , a≠1,

X = (0; ∞), Y = (–∞; ∞);

y = ln x, основанием логарифма, в этом случае, является число e. Такой логарифм называют натуральным.

X = (0; ∞), Y = (–∞; ∞);

y = lg x, основанием логарифма является число 10. Такой логарифм называют десятичным.

X = (0; ∞), Y = (–∞; ∞).


6. Тригонометрические функции


y = sin x, X = (–∞; ∞), Y = [–1;1];

y = cos x, X = (–∞; ∞), Y = [–1;1];

y = tg x, , Y = (–∞; ∞);

y = ctg x, x ≠ πk, Y = (–∞; ∞).


7 Обратные тригонометрические функции

y = arcsin x, X =[–1;1], ;

y = arccos x, X =[–1;1], Y = [0; π];

y = arctg x, X = (–∞; ∞) , ;

y = arcctg x, X = (–∞; ∞) , Y = (0; π).


Функции классов 1–3 принято называть алгебраическими. Функции классов 4–7 называются трансцендентными.


1.5. Графический обзор простейших элементарных ôóнкций


y = kx+b, k>0 y = kx+b, k<0



Рис. 1.1 Рис. 1.2






Рис. 1.3 Рис. 1.4



y = ax2+bx+c , D = b24ac




Рис. 1.5 Рис. 1.6 Рис. 1.7




Рис. 1.8 Рис. 1.9 Рис. 1.10


y = a x, y = loga x, a >1 y = ax, y = loga x , 0 1



Рис. 1.11 Рис. 1.12


y = sin x


Рис. 1.13



y = cos x




Рис. 1.14

y = tg x y = ctg x



Рис. 1.15 Рис. 1.16



y = arcsin x y = arcos x




Рис. 1.17 Рис. 1.18

y =arctg x y = arcctg x


Рис. 1.19 Рис. 1.20





1.6. Известен график ôóíêöèè y = f(x). Как построить графики функций y = f(x+a), y = f(x)+b, y = f(k ∙ x), y = k ∙ f(x) ?


График функции y = f(x+a) получается из графика функции y = f(x) его параллельным сдвигом вдоль оси Ox на единиц влево при a >0 и вправо при a < 0.

График функции y = f(x)+b получается из графика функции y = f(x) его параллельным сдвигом вдоль оси Oy на единиц вверх при b >0 и вниз при b < 0.

График функции y = f(k ∙ x), k > 0 получается из графика функции y = f(x) его сжатием к оси Oy в k раз при k > 1 и растяжением в при k < 1.

График функции y = k ∙ f(x), k > 0 получается из графика функции y = f(x) его растяжением от оси Ox в k раз при k > 1 и сжатием к оси Ox в при k < 1.

Пример 1. Построить график функции



Решение. Преобразуем функцию таким образом, чтобы можно было воспользоваться графиком функции :




График заданной функции получим, если гиперболу (рис. 1.21) сместим вдоль оси Ox вправо на две единицы и затем сдвинем полученный график вверх вдоль оси Oy на одну единицу (рис. 1.22).


Рис. 1.21 Рис. 1.22



Пример 2. Построить график функции

Решение. График данной функции получится путем сжатия к оси Oy в 2 раза графика функции (рис. 1.23).




Рис. 1.23

1.7. Понятие сложной ôóнкции


Рассмотрим функцию . Эта функция сконструирована из двух простейших элементарных функций – логарифмической z = lg x и степенной , при этом аргумент z степенной функции принимает свои значения в области изменения логарифмической функции z = lg x. Таким образом, функцию можно назвать функцией от функции. Такие функции принято называть сложными функциями.

Как найти область определения сложной функции? Вернемся к нашему примеру. Известно, что степенная функция определена для . Следовательно, сложная функция определена лишь для тех значений x, при которых lg x ≥ 0, то есть для .

 общем случае, если функция z = g(x) определена на множестве X, а функция y = f(z) определена на множестве Z,
то сложная функция у = f(g(х)) будет определена на множестве Х лишь тогда, когда множество значений функции g(x) будет входить в область определения функции f(z).

Сложную функцию y = f(g(x)) называют также наложением или суперпозицией функций z = g(x) и y = f(z).

Большинство функций, с которыми приходится иметь дело, являются сложными функциями. Например, функция является простейшей элементарной функцией, а функция – уже сложная функция. Она является комбинацией линейной функции z = 2х и тригонометрической функции . Сложная функция может быть суперпозицией трех и большего числа функций. Например, функция является наложением трёх простейших элементарных функций и . Так как функции и определены при любых значениях своих аргументов, то сложная функция определена для всех x, при которых определена функция , то есть для .

Понятие сложной функции позволяет значительно расширить множество элементарных функций. К элементарным ôóнкциям принято относить простейшие элементарные ôóнкции 1–7, а также все функции, которые получаются из простейших с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций, последовательно применённых конечное число раз.

Пример. Найти область определения функции

.

Решение. Первое слагаемое функции



определено при условии, что или . Второе слагаемое определено, когда

x2+x+2>0 (x+2)(x–1)>0,

то есть при . Найдем значения x, при которых определены оба слагаемых:



Таким образом, .

^ 2. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ


Приступая к изучению понятия предела, следует иметь в виду, что понятие предела функции относится к так называемым локальным понятиям математики. Это означает, что оно характеризует поведение функции в достаточно малой окрестности некоторой точки.


2.1. Виды окрестностей. Условие принадлежности

точки заданной окрестности

O(x0) – произвольная

окрестность ()x0 ;

– окрестность ()x0

радиуса δ ,

;

– проколотая ок-

рестность () x0 радиуса δ,

;




O(∞, ∆) – окрестность радиуса бесконечно удаленной точки .


2.2. В связи с чем возникло понятие предела функции?


Одной из основных задач математического анализа является изучение поведения функции в достаточно малой окрестности некоторой точки x0 или при . В связи с этим возникло понятие предела функции при и при . В зависимости от поведения функции y = f(x) геометрически возможны следующие ситуации (рис. 2.1–2.4).


Рис. 2.1 Рис. 2.2


Рис. 2.3 Рис. 2.4




2.3. Определение предела функции в случаях 14

  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт


Похожие:



Если Вам понравился наш сайт, Вы можеть разместить кнопку на своём сайте или блоге:
refdt.ru


©refdt.ru 2000-2013
условием копирования является указание активной ссылки
обратиться к администрации
refdt.ru