Методические указания по их выполнению, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и необходимую литературу



НазваниеМетодические указания по их выполнению, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и необходимую литературу
страница6/8
Дата22.03.2013
Размер0.8 Mb.
ТипМетодические указания
источник
1   2   3   4   5   6   7   8

^ Контрольные вопросы

  1. Дайте определение комплексной передаточной функции.

  2. Что называется амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками электрической цепи?

  3. Что понимают под добротностью колебательного контура?

  4. Какие значения принимают напряжения на элементах последовательного колебательного контура при резонансе?

  5. Дайте определение полосы пропускания контура?

  6. Какие значения принимают токи в элементах параллельного колебательного контура при резонансе?




  1. ^ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧИ 5



5.1. Переходные колебания. Законы коммутации. Начальные условия

[ 1, с. 185-188; 2, с.157-159]


Режимы колебаний токов и напряжений в цепи разделяются на установившиеся (стационарные) и переходные. К установившимся относятся все периодические колебания любого вида, а также режим постоянного тока, когда напряжения и токи в цепи не зависят от времени. Установившийся режим достигается обычно через определенный промежуток времени после начала воздействия, в течение которого существует переходный режим колебаний. Переходными колебаниями называются колебания напряжения и тока в процессе перехода цепи от одного установившегося режима к другому установившемуся режиму.

Переходный режим колебаний обусловлен наличием в цепи накопителей энергии (индуктивностей и емкостей) и возникает в результате коммутации. Под коммутацией понимается резкое изменение параметров цепи, т.е. внезапное изменение ее конфигурации, подключение или отключение источников энергии, элементов ветвей, внезапное изменение характера воздействия и т.п.




Идеализированным средством коммутации является ключ (рис.5.1), который представляет собой двухполюсник, сопротивление которого бесконечно велико в разомкнутом состоянии и равно нулю в замкнутом состоянии. В электрических схемах положение ключа показывается до коммутации.



В расчетах переходных процессов коммутация ключа (замыкание или размыкание) считается мгновенной.

Удобно начало отсчета времени совместить с моментом коммутации. Тогда с учетом бесконечно большой скорости замыкания или размыкания ключа момент времени непосредственно перед коммутацией обозначают t = 0_, а момент времени сразу после коммутации t = 0+.

Изменение энергии магнитного поля в индуктивности определяется изменением протекающего через нее тока:

  .

По этой формуле можно рассчитать энергию в моменты t = 0_ и t = 0+. Из физического закона сохранения энергии следует, что энергия не может меняться мгновенно. Тогда не может мгновенно измениться и ток в индуктивности , т.е. ток в индуктивности является непрерывной функцией времени:

.

Последнее равенство представляет собой математическую запись закона коммутации для индуктивности.

Изменение энергии электрического поля в емкости определяется изменением напряжения не ее зажимах:

  .

Аналогично индуктивности, получаем закон коммутации для емкости:

,

т.е. напряжение на емкости является непрерывной функцией времени.

Отметим, что напряжения на индуктивностях и токи в емкостях, а также напряжения и токи в резистивных сопротивлениях могут меняться скачком.

Значения токов в индуктивностях  и напряжения на емкостях  образуют начальные условия для анализа переходных процессов. Эти значения определяют начальный запас энергии в цепи. Если в момент коммутации напряжения на всех емкостях цепи и токи во всех индуктивностях равны нулю, то начальные условия называют нулевыми. Если же хотя бы один ток в индуктивности или одно напряжение на какой-нибудь емкости не равны нулю, то такие начальные условия называют ненулевыми.


^ 5.2. Классический метод расчета переходных процессов

[ 1, с.189-210; 2, с.159-167]


Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении и решении системы дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений цепи. Дифференциальные уравнения появляются вследствие дифференциальных зависимостей напряжений и токов в реактивных элементах:


  и  .


Сами дифференциальные уравнения составляют на основе законов Кирхгофа, методов узловых напряжений, контурных токов или эквивалентного генератора относительно независимой переменной, в качестве которой служит  или . Систему дифференциальных уравнений первого порядка сводят к одному дифференциальному уравнению более высокого порядка. Порядок дифференциального уравнения обычно равен числу независимых накопителей энергии (числу реактивных элементов).

Этапы расчета переходных процессов классическим методом поясним на примере.

Пример 5.1.


В цепи, схема которой представлена на рис.5.2, в момент времени замыкается ключ. Найти законы изменения тока  и напряжения .







  1. На первом этапе найдем начальные условия. В данном случае это ток в индуктивности при . В этот момент ключ еще разомкнут, и в цепи режим постоянного тока, создаваемый источником постоянного напряжения . В этом режиме напряжение на индуктивности равно нулю, что эквивалентно короткому замыканию ее зажимов. Тогда схема приобретает вид, показанный на рис.5.3. Для нее



  1. На втором этапе составим дифференциальное уравнение для цепи после коммутации  относительно . Анализируемая цепь показана на рис.5.4, где стрелками указаны выбранные направления токов.

В соответствии с законами Кирхгофа





Преобразуем эту систему в одно дифференциальное уравнение с переменной :





или



Полученное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка удобно привести к виду:



  1. На третьем этапе записываем решение полученного уравнения в общем виде. Как известно из курса математики, общее решение неоднородного дифференциального уравнения представляют собой сумму общего решения однородного дифференциального уравнения, называемого в теории цепей собственной составляющей, и одного из множества частных решений неоднородного дифференциального уравнения, называемого в ТЭЦ вынужденной составляющей.



  1. На четвертом этапе находим вынужденную составляющую общего решения. Так как решаемое дифференциальное уравнение должно быть справедливым для любого момента времени выберем , когда в цепи опять установится режим постоянного тока, и индуктивность снова можно заменить коротким замыканием (рис.5.5). Тогда



  1. На пятом и шестом этапах определяем собственную составляющую  В общем виде она равна:



где  - корень характеристического уравнения, соответствующего однородному дифференциальному уравнению и получаемому из дифференциального уравнения путем замены производной на переменную р:



Отсюда корень .

  1. Постоянную «А» находим из начальных условий с учетом закона коммутации при 





  1. На седьмом этапе записываем решение дифференциального уравнения, пользуясь формулой этапа 3:



или



где обозначение  – постоянная времени цепи.

Закон изменения напряжения находим из соотношения напряжения и тока в индуктивности:



По полученным формулам строим примерные графики и (рис.5.6).





Пример 5.2.


В цепи, приведенной на рис.5.7, найти закон изменения напряжения и тока в емкости после замыкания ключа.




  1. Начальные условия (0) определяется в момент , когда в цепи режим постоянного тока. В этом режиме ток через емкость равен нулю, что эквивалентно обрыву ветви с емкостью. Тогда напряжение на емкости совпадает с напряжением параллельно подключенного третьего резистивного сопротивления. Таким образом,



т.е. емкость запаслась энергией.

2. Дифференциальное уравнение относительно (t) при

составляем для цепи, приведенной на рис.5.9.



Поскольку резистивные сопротивления соединены параллельно, то на основании второго закона Кирхгофа получаем






Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:






  1. Общее решение полученного однородного дифференциального уравнения имеет вид:



Поскольку в цепи нет источника (внешней силы), колебания токов и напряжений происходят свободно, что ведет к изменению терминологии для напряжения и тока.

  1. Так как при  энергия, запасенная емкостью, будет полностью израсходована резистивными сопротивлениями,



  1. Общее решение однородного дифференциального уравнения



Показатель степени экспоненты  является корнем характеристического уравнения:






  1. Из начальных условий находим постоянную «А»:



  1. Решение дифференциального уравнения



где  – постоянная времени цепи.




На рис.5.10 приведены примерные графики полученных зависимостей.





Из графиков видно, что постоянная времени цепи τ определяет время, за которое напряжение и ток убывают в е ≈ 2,72 раз в режиме свободных колебаний.


Пример 5.3.







В цепи с постоянным источником тока ключ размыкается. Найти законы изменения  и .




  1. Начальные условия (0) определяется в момент , когда в цепи установившийся режим постоянного тока, в котором емкость можно заменить разомкнутыми зажимами (рис.5.12), а резистивное сопротивление 3R закорочено ключом. Тогда 





  1. Дифференциальное уравнение получим для переменной  в цепи после коммутации (рис5.13) при . Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа:






Далее преобразуем систему, выразив все токи через и подставив их в уравнение, содержащее ток источника тока:







Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:



  1. Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения:



  1. Вынужденную составляющую находим при  когда в цепи опять установится режим постоянного тока (рис.5.14).












  1. Запишем собственную составляющую 

Показатель степени экспоненты находим как корень характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению:



  1. Постоянную «А» определим из начальных условий при

(см.п.3):




  1. Окончательное решение:





где постоянная времени цепи RC.

Примерные графики полученных зависимостей приведены на рис.5.15.


1   2   3   4   5   6   7   8



Похожие:



Если Вам понравился наш сайт, Вы можеть разместить кнопку на своём сайте или блоге:
refdt.ru


©refdt.ru 2000-2013
условием копирования является указание активной ссылки
обратиться к администрации
refdt.ru