Методические указания по их выполнению, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и необходимую литературу



НазваниеМетодические указания по их выполнению, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и необходимую литературу
страница3/8
Дата22.03.2013
Размер0.8 Mb.
ТипМетодические указания
источник
1   2   3   4   5   6   7   8

^ Контрольные вопросы

  1. Какое соединение элементов называется последовательном (параллельным)?

  2. Сформулируйте принцип наложения.

  3. Относительно каких переменных составляются уравнения при решении задачи методом узловых напряжений?

  4. Как записывается каноническая система узловых уравнений?

  5. Сколько независимых уравнений можно составить для цепи по методу узловых напряжений?

  6. Что представляют собой коэффициенты и свободные члены системы узловых уравнений?

  7. Как найти токи в элементах цепи, если известны узловые напряжения?

  8. Какие две схемы замещения генератора с резистивным внутренним сопротивлением Вы знаете?

  9. Когда два генератора можно считать эквивалентными? Как пересчитать генератор с источником напряжения в эквивалентный ему генератор с источником тока и наоборот?



^ 3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧИ 3



    1. Гармонические напряжения и токи

[1, c.98–108; 2, c.72–75]

При изучении данного вопроса необходимо обратить внимание на следующее.

Гармонические колебания тока или напряжения могут быть описаны одной из функций





Обе записи равноправны, однако при решении задач следует придерживаться какой-либо одной из них. Мы будем пользоваться первой.

Наибольшее по абсолютному значению отклонение колеблющейся величины называется её амплитудой и обозначается  (). Наименьшее значение времени, после которого процесс полностью повторяется (время одного цикла колебания), называется периодом колебания Т (рис. 3.1). Число циклов колебания в единицу времени называется циклической частотой колебания  или просто частотой. Частота измеряется в герцах (Гц). Герц – одно колебание в секунду. Число циклов колебания в интервале, равном 2π единицам времени, называется угловой частотой 

Величина  называется фазой колебания. Значение фазы колебания в момент времени называется начальной фазой колебания.

Действующим значением любого периодического тока (напряжения) называется его среднеквадратичное значение за период 

 




Рис. 3.1


Действующие значения гармонического тока (напряжения) в  раза меньше его амплитуды, т.е.

I =  U =  .

Измерительные приборы теплового действия показывают действующие значения токов и напряжений.

Амплитуды гармонического напряжения и тока на пассивном элементе линейной электрической цепи связаны прямой пропорциональной зависимостью следующего вида:

UmR = R∙ImR, UmL = ωL∙ImL, UmC =  ∙ ImC.

На резистивном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе (рис. 3.2,а). Гармонические колебания тока в индуктивности отстают по фазе от колебаний напряжения на угол π/2 (рис. 3.2, б), а колебания тока в ёмкости опережают колебания напряжения на угол π/2 (рис. 3.2,в).



а) б) в)

Рис. 3.2



а) б) в)


Рис. 3.3


Если мгновенное значение тока в цепи с резистивным сопротивлением, индуктивностью или ёмкостью изменяется по закону , то напряжения на этих элементах будут следующими:







Мгновенная мощность гармонических колебаний в общем случае, когда ток и напряжение сдвинуты по фазе на некоторый угол =ψu – ψi, определяется по формуле:



Средняя мощность равна

P = Pср =   = U∙I∙cos .

Для резистивного сопротивления  =0 и Pср=UR∙IR=IR2∙R, для индуктивности  =π/2 и Pср =0, для ёмкости  = –π/2 и Pср =0. Это говорит о том, что резистивное сопротивление непрерывно потребляет энергию и необратимо преобразует её в другие виды энергии, тогда как реактивные элементы часть периода накапливают энергию, а часть – отдают обратно в цепь. На рис. 3.3,а,б,в приведены временные диаграммы мгновенных мощностей. Когда мгновенная мощность положительна, элемент цепи потребляет энергию (накапливает её или рассеивает), когда отрицательна – возвращает запасённую энергию во внешнюю цепь.

Гармонические колебания равных частот в одной и той же цепи изображают на плоскости в виде некоторой диаграммы. На ней в полярной системе координат каждому колебанию соответствует радиус-вектор, длина которого в выбранном масштабе пропорциональна амплитуде колебания, а полярный угол равен начальной фазе колебания.

На рис.3.4,а,б,в приведены векторные диаграммы, соответствующие временным диаграммам гармонических колебаний на резистивном сопротивлении, индуктивности и ёмкости, представленным на рис. 3.2.




а) б) в)

Рис. 3.4



    1. Символическое изображение косинусоидальных функций комплексными числами. Законы Кирхгофа в комплексной форме

[1, c. 115–120; 2, c. 75–78]

Каждой косинусоидальной функции заданной частоты ω можно сопоставить вектор на комплексной плоскости. С другой стороны, каждый вектор можно записать в виде комплексного числа. Так, гармоническому колебанию, описываемому функцией u(t)=Um∙cos(ωt+), можно сопоставить радиус-вектор m на комплексной плоскости (рис. 3.5). Длина вектора в выбранном масштабе, равна амплитуде колебания Um, а угол, образованный этим вектором с положительным направлением вещественной оси, – начальной фазе колебания ψ. Этому вектору соответствует комплексное число

m=Um∙ejψ = Um ∙ (cos  + j sin ψ) = Um cos ψ + j Um sin ψ = a + j b,

где j =  – мнимая единица; a – вещественная часть; jb – мнимая часть; b – коэффициент при мнимой части комплексного числа.

Модуль комплексного числа равен длине вектора

|m| = Um = 

Аргумент комплексного числа равен углу между вектором и осью абсцисс

 = arg [m] = arg (a + jb) = arctg  + k∙π,

где arctg соответствует главному значению функции, ограниченной интервалом –< arctg  <  , а значение целого числа k находится с учётом знаков составляющих a и b комплексного числа (k=).

Для перехода от показательной формы записи комплексного числа c=|c|∙ ∙ejψ к алгебраической c=a+jb используется формула Эйлера

ejψ = cos ψ + j sin ψ .

Тогда c=|c|∙cosψ + j|c|∙sinψ , и поэтому вещественная часть комплексного числа a= Re (a + jb)= |c|∙cosψ и коэффициент при мнимой части b= Im (a + jb)= |c|∙sinψ.

Имеют место соотношения: j=ej90°; j2= –1 = ej180°, j3= –j = ej90°, j4=1.

Два комплексных числа с и с* считаются сопряжёнными, если они отличаются лишь знаками их мнимых частей, т.е. если с=a + jb, то с*=a – jb.

Вычисления с комплексными числами сводятся к действиям с вещественными числами. В частности:

c1∙c2=(a1+jb1)∙(a2+jb2)=a1∙a2–b1∙b2+j(a1∙b2+a2∙b2);

c∙c*=(a+jb)∙(a–jb)=a2+b2;

= =  =  +j ;

c1c2 = a1  a2 +j(b1  b2).

Расположение на комплексной плоскости числа с=a + jb для частного случая, когда a>0 и b>0, показана на рис. 3.5. В зависимости от знаков чисел a и b комплексное число с=a + jb может изображаться точкой в любом из квадрантов комплексной плоскости.



Рис. 3.5

Комплексное число m принято называть комплексной амплитудой гармонического колебания u(t). Таким образом, комплексная амплитуда гармонического колебания – это комплексное число, модуль которого равен амплитуде колебания, а аргумент – его начальной фазе. Между комплексной амплитудой и гармоническим колебанием существует взаимно однозначное соответствие, которое математически выражается следующими зависимостями:

m =  dt, u(t) = Re (m∙ejωt).

Комплексные действующие значения отличаются от комплексных амплитуд в  раза:  = m/, m=.

Для комплексных амплитуд напряжений и токов сохраняется та же система положительных направлений, которая была принята для мгновенных значений колебаний.

Комплексные значения токов и напряжений в электрической цепи удовлетворяют законам Кирхгофа.

Для ЗТК заменив мгновенные значения токов их комплексными значениями, получим



где n – число ветвей, сходящихся в узле; к = 

Для ЗНК заменив мгновенные значения напряжений их комплексными значениями, получим



где m – число ветвей, входящих в контур; к = 


Пример 3.2.1

Записать мгновенное значение гармонического напряжения по заданному комплексному действующему значению:

 = –3 + j4.

Решение

От заданного комплексного действующего значения в алгебраической форме перейдём к комплексной амплитуде в показательной форме.

m =  = ∙(–3+j4) =  ∙ej[arctg(–4/3)+π] =

= ∙5∙ej(180°–53,13°) =7,071∙ej126,87° B;

u(t) = Re(m ∙ ejωt) = Re(7,071 ∙ ej126,87° ∙ ejωt) = 7,071 ∙ cos(ωt + 126,87°) B.



    1. Закон Ома в комплексной форме. Комплексные сопротивления и проводимости. Символический метод анализа гармонических колебаний

[1, c. 120–134; 2, c. 78–86]

Комплексные амплитуды напряжения и тока на входе двухполюсника (рис. 3.6) формально удовлетворяют закону Ома:

m = Z(jω)∙m; m = Y(jω)∙m,

где Z(jω) = R + jX = |Z(jω)|∙– комплексное сопротивление цепи,

Y(jω) = G + jB = |Y(jω)| – комплексная проводимость цепи.

Рис. 3.6

В этих выражениях

R = |Z(jω)|∙cos() = Re Z(jω); X = |Z(jω)|∙sin() = Im Z(jω);

G = |Y(jω)|∙cos() = Re Y(jω); B = |Y(jω)|∙sin() = Im Y(jω).

Вещественные части этих представлений, т.е. R и ^ G, называют резистивными, а коэффициенты при мнимых частях, т.е. X и B, реактивными составляющими соответственно сопротивления и проводимости двухполюсника.

|Z(jω)| = = ; |Y(jω)| = = ;  =  = –.

Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуды напряжения на внешних зажимах двухполюсника к амплитуде тока, который проходит через эти зажимы, или, что то же, отношение действующих значений этих колебаний. Обратное отношение характеризует модуль комплексной проводимости двухполюсника. Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз колебаний напряжения и тока на внешних зажимах двухполюсника и отличается знаком «минус» от аргумента комплексной проводимости двухполюсника. У пассивных двухполюсников значения аргументов

     и –    .

Комплексные сопротивления индуктивности, резистивного сопротивления и ёмкости соответственно равны

ZL(jω) = jωL, ZR(jω) = R, ZC(jω) =  = .

Комплексные проводимости есть обратные им величины:

YL(jω) =  = , YR(jω) =  YC(jω) = jωC.

Анализ цепи символическим методом производится в следующем порядке:

  1. Переходим к комплексной схеме замещения цепи. Заданные гармонические колебания заменяются их комплексными амплитудами и вычисляются комплексные сопротивления элементов цепи. На схеме анализируемой цепи помечаются комплексные амплитуды колебаний.

  2. Определяем неизвестные комплексные токи и напряжения. Составляется и решается система алгебраических уравнений для комплексных амплитуд колебаний, для чего можно использовать любой метод анализа цепей (метод эквивалентных преобразований цепи, метод наложения, метод узловых напряжений).

  3. Осуществляем переход от найденных комплексных амплитуд к косинусоидальным функциям, описывающим колебания в цепи.


1   2   3   4   5   6   7   8



Похожие:



Если Вам понравился наш сайт, Вы можеть разместить кнопку на своём сайте или блоге:
refdt.ru


©refdt.ru 2000-2013
условием копирования является указание активной ссылки
обратиться к администрации
refdt.ru