Методические указания по их выполнению, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и необходимую литературу



НазваниеМетодические указания по их выполнению, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и необходимую литературу
страница3/5
Дата22.03.2013
Размер0.55 Mb.
ТипМетодические указания
источник
1   2   3   4   5

^ Символическое изображение косинусоидальных функций комплексными числами. Законы Кирхгофа в комплексной форме

[1, c. 115–120; 2, c. 75–78]

При изучении данного вопроса следует обратить внимание на следующее.

Каждой косинусоидальной функции заданной частоты ω можно сопоставить вектор на комплексной плоскости. С другой стороны, каждый вектор можно записать в виде комплексного числа. Так, гармоническому колебанию, описываемому функцией u(t)=Um∙cos(ωt+ѱ), можно сопоставить радиус-вектор m на комплексной плоскости (рис. 3.5). Длина вектора в выбранном масштабе, равна амплитуде колебания Um, а угол, образованный этим вектором с положительным направлением вещественной оси, – начальной фазе колебания ѱ. Этому вектору соответствует комплексное число

m=Um∙ejѱ = Um ∙ (cos ѱ + j sin ѱ) = Um cos ѱ + j Um sin ѱ = a + j b,

где j =  – мнимая единица; a – вещественная часть; jb – мнимая часть; b – коэффициент при мнимой части комплексного числа.

Модуль комплексного числа равен длине вектора

|m| = Um = 

Аргумент комплексного числа равен углу между вектором и осью абсцисс

 = arg [m] = arg (a + jb) = arctg  + k∙π,

где arctg соответствует главному значению функции, ограниченной интервалом < arctg  <  , а значение целого числа k находится с учётом знаков составляющих a и b комплексного числа (k=).

Для перехода от показательной формы записи комплексного числа c=|c|∙ejѱ к алгебраической c=a+jb используется формула Эйлера

ejѱ = cos ѱ + j sin ѱ.

Тогда c=|c|∙cosѱ + j|c|∙sinѱ, и поэтому вещественная часть комплексного числа a= Re (a + jb)= |c|∙cosѱ и коэффициент при мнимой части b= Im (a + jb)= |c|∙sinѱ.

Имеют место соотношения: j=ej90°; j2= –1 = ej180°, j3= –j = ej90°, j4=1.

Два комплексных числа с и с* считаются сопряжёнными, если они отличаются лишь знаками их мнимых частей, т.е. если с=a + jb, то с*=a – jb.

Вычисления с комплексными числами сводятся к действиям с вещественными числами. В частности:

c1∙c2=(a1+jb1)∙(a2+jb2)=a1∙a2–b1∙b2+j(a1∙b2+a2∙b2);

c∙c*=(a+jb)∙(a–jb)=a2+b2;

= =  =  +j ;

c1c2 = a1  a2 +j(b1  b2).

Расположение на комплексной плоскости числа с=a + jb для частного случая, когда a>0 и b>0, показана на рис. 3.5. В зависимости от знаков чисел a и b комплексное число с=a + jb может изображаться точкой в любом из квадрантов комплексной плоскости.



Рис. 3.5

Комплексное число m принято называть комплексной амплитудой гармонического колебания u(t). Таким образом, комплексная амплитуда гармонического колебания – это комплексное число, модуль которого равен амплитуде колебания, а аргумент – его начальной фазе. Между комплексной амплитудой и гармоническим колебанием существует взаимно однозначное соответствие, которое математически выражается следующими зависимостями:

m =  dt, u(t) = Re (m∙ejωt).

Комплексные действующие значения отличаются от комплексных амплитуд в  раза:  = m/, m=.

Для комплексных амплитуд напряжений и токов сохраняется та же система положительных направлений, которая была принята для мгновенных значений колебаний.

Комплексные значения токов и напряжений в электрической цепи удовлетворяют законам Кирхгофа.

Для ЗТК заменив мгновенные значения токов их комплексными значениями, получим



где n – число ветвей, сходящихся в узле; к = 

Для ЗНК заменив мгновенные значения напряжений их комплексными значениями, получим



где m – число ветвей, входящих в контур; к = 


Пример 3.2.1

Записать мгновенное значение гармонического напряжения по заданному комплексному действующему значению:

 = –3 + j4.

Решение

От заданного комплексного действующего значения в алгебраической форме перейдём к комплексной амплитуде в показательной форме.

m =  = ∙(–3+j4) =  ∙ej[arctg(–4/3)+π] =

= ∙5∙ej(180°–53,13°) =7,071∙ej126,87° B;

u(t) = Re(m ∙ ejωt) = Re(7,071 ∙ ej126,87° ∙ ejωt) = 7,071 ∙ cos(ωt + 126,87°) B.



    1. ^ Закон Ома в комплексной форме. Комплексные сопротивления и проводимости. Символический метод анализа гармонических колебаний

[1, c. 120–134; 2, c. 78–86]

Комплексные амплитуды напряжения и тока на входе двухполюсника (рис. 3.6) формально удовлетворяют закону Ома:

m = Z(jω)∙m; m = Y(jω)∙m,

где Z(jω) = R + jX = |Z(jω)|∙ejϕz – комплексное сопротивление цепи,

Y(jω) = G + jB = |Y(jω)|∙ejϕy – комплексная проводимость цепи.Рис. 3.6

В этих выражениях

R = |Z(jω)|∙cos(ϕz) = Re Z(jω); X = |Z(jω)|∙sin(ϕz) = Im Z(jω);

G = |Y(jω)|∙cos(ϕy) = Re Y(jω); B = |Y(jω)|∙sin(ϕy) = Im Y(jω).

Вещественные части этих представлений, т.е. R и G, называют резистивными, а коэффициенты при мнимых частях, т.е. X и B, реактивными составляющими соответственно сопротивления и проводимости двухполюсника.

|Z(jω)| = = ; |Y(jω)| = = ; ϕz = ѱu – ѱi = –ϕy.

Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуды напряжения на внешних зажимах двухполюсника к амплитуде тока, который проходит через эти зажимы, или, что то же, отношение действующих значений  этих колебаний. Обратное отношение характеризует модуль комплексной проводимости двухполюсника. Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз колебаний напряжения и тока на внешних зажимах двухполюсника и отличается знаком «минус» от аргумента комплексной проводимости двухполюсника. У пассивных двухполюсников значения аргументов

  ϕz   и –  ϕy  .

Комплексные сопротивления индуктивности, резистивного сопротивления и ёмкости соответственно равны

ZL(jω) = jωL, ZR(jω) = R, ZC(jω) =  = .

Комплексные проводимости есть обратные им величины:

YL(jω) =  = , YR(jω) =  YC(jω) = jωC.

Анализ цепи символическим методом производится в следующем порядке:

  1. Переходим к комплексной схеме замещения цепи. Заданные гармонические колебания заменяются их комплексными амплитудами и вычисляются комплексные сопротивления элементов цепи. На схеме анализируемой цепи помечаются комплексные амплитуды колебаний.

  2. Определяем неизвестные комплексные токи и напряжения. Составляется и решается система алгебраических уравнений для комплексных амплитуд колебаний, для чего можно использовать любой метод анализа цепей (метод эквивалентных преобразований цепи, метод наложения, метод узловых напряжений).

  3. Осуществляем переход от найденных комплексных амплитуд к косинусоидальным функциям, описывающим колебания в цепи.

Пример 3.3.1

Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.7,а, рассчитать все токи и напряжения, записать их мгновенные значения, вычислить действующие значения, если u(t)=20∙cos(105∙t) В; L=0,4∙10–3 Гн; С=0,25∙10–6 Ф; R1=40 Ом; R2=80 Ом.

а)

б)

Рис. 3.7


Решение

Применим символический метод. Зададимся положительными направлениями токов в цепи и покажем их стрелками на рис. 3.7. Отметим узлы 0, 1.

  1. Переходим к комплексной схеме замещения цепи (рис. 3.7,б). Определим параметры схемы:

m = Um∙ejѱu = 20 В; ѱu = 0;

ZL = jωL = j∙105∙0,4∙10–3 = j40 = 40∙ej90° Ом;

ZC =  =  = –j40 = 40∙ej90° Ом;

Z1 = R1 =40 Ом; Z2 = R2 = 80 Ом.

  1. Определяем неизвестные комплексные токи и напряжения линейной цепи с одним независимым источником напряжения путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи.

Последовательное соединение элементов Z1 и ZC заменим эквивалентным ZЭ1:

ZЭ1 = Z1 + ZC = 40 – j40 = 40∙(1–j) = 40∙∙ejarctg(1) = 56,57∙ej45° Ом.

Параллельное соединение элементов Z2 и ZЭ1 заменим эквивалентным ZЭ2:

ZЭ2 = Z2∙ZЭ1/(Z2+ZЭ1) = 80∙40∙(1–j)/(120–j40) = 16∙(2–j) = 16∙∙ej26,57° Ом.

Вычислим комплексную амплитуду тока mL:

mL =m/(ZL+ZЭ2) =20/(32+j24) =0,1∙(4–j3) =0,1∙∙ejarctg(0,75) =0,5∙ej36,87° А.

Вычислим комплексное напряжение 10 между узлами 1 и 0 схемы:

10 = mL∙ZЭ2 = 0,5∙ej36,87° ∙ 16∙∙ej26,57° = 17,89∙ej63,44° В.

Вычислим комплексные амплитуды токов m1 и m2:

m1 = 10/ZЭ1 = 17,89∙ej63,44° / (56,57∙ej45° ) = 0,3162∙ej18,44° А,

m2 = 10/Z2 = 17,89∙ej63,44° / 80 = 0,2236∙ej63,44° А.

Вычислим комплексные амплитуды напряжений mL, mC, m1, m2:

mL = mL∙ZL = 0,5∙ej36,87°∙40∙ej90° = 20∙ej53,13° В,

mC = m1∙ZC = 0,3162∙ej18,44°∙40∙ej90° = 12,648∙ej108,44° В,

m1 = m1∙Z1 = 0,3162∙ej18,44°∙40 = 12,648∙ej18,44° В,

m2 = m2∙Z2 = 0,2236∙ej63,44°∙80 = 17,888∙ej63,44° В.

  1. Осуществляем переход от найденных комплексных амплитуд токов и напряжений к косинусоидальным функциям по формулам

i(t) = Re [m∙ejωt], u(t) = Re [m∙ejωt].

Получим для ω=105 рад/с реальные токи и напряжения

iL(t) = 0,5∙cos(ωt – 36,87°) A; i1(t) = 0,3162∙cos(ωt – 18,44°) A;

i2(t) = 0,2236∙cos(ωt – 63,44°) A; uL(t) = 20∙cos(ωt + 53,13°) B;

uC(t) = 12,648∙cos(ωt – 108,44°) B; u1(t) = 12,648∙cos(ωt – 18,44°) B;

u2(t) = 17,888∙cos(ωt – 63,44°) B.

Действующие значения гармонического тока и напряжения вычислены по формулам I=Im/, U=Um/ и представлены в табл. 3.3.1

Таблица 3.3.1

IL A

I1 A

I2 A

UL B

UC B

U1 B

U2 B

U B

0,3536

0,2236

0,1581

14,142

8,945

8,945

12,649

14,142



1   2   3   4   5



Похожие:



Если Вам понравился наш сайт, Вы можеть разместить кнопку на своём сайте или блоге:
refdt.ru


©refdt.ru 2000-2013
условием копирования является указание активной ссылки
обратиться к администрации
refdt.ru