Методические указания по их выполнению, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и необходимую литературу



НазваниеМетодические указания по их выполнению, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и необходимую литературу
страница2/5
Дата22.03.2013
Размер0.55 Mb.
ТипМетодические указания
источник
1   2   3   4   5

Расчёт линейных резистивных цепей с одним независимым источником путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи

[1, c.50–55; 2, c.30–33]

В этом и последующих разделах используется согласный выбор положительных направлений напряжений и токов в ветвях.

При изучении данного вопроса необходимо обратить внимание на следующие основные положения.

Последовательным соединением элементов называется такое, при котором через все элементы проходит один и тот же ток (рис. 2.8,а). При последовательном соединении эквивалентный элемент (рис. 2.8,б)



где n – число последовательно соединённых элементов.



а) б)

Рис. 2.8

Параллельным соединением элементов называется такое, при котором ко всем элементам приложено одно и то же напряжение (рис. 2.9,а). При параллельном соединении эквивалентный элемент (рис. 2.9,б)



где m – число параллельно соединённых элементов.



а) б)

Рис. 2.9


Для цепи, состоящей из двух элементов R1 и R2 (рис. 2.9,а) имеем

Rэ2 =R1∙R2/(R1+R2); u=i∙R1∙R2/(R1+R2); i1=u/R1=i∙R2/(R1+R2); i2=u/R2=i∙R1/(R1+R2).

Анализ последовательно-параллельных цепей с одним источником рекомендуется выполнять путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи в простую цепь, состоящую из источника и общего эквивалентного сопротивления цепи.



    1. ^ Принцип наложения и его применение для расчёта цепей

[1, c.14–15; 2, c.33–34, 47–48]

При изучении данного вопроса необходимо твёрдо усвоить, что принцип наложения применим только к линейным электрическим цепям. Согласно принципу наложения, реакция линейной электрической цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым из воздействий в отдельности.

Под воздействиями в электрических цепях понимают задающие напряжения независимых источников напряжения и задающие токи независимых источников тока. Токи и напряжения, обусловленные некоторым воздействием, называются реакциями цепи на это воздействие.

Если в цепи имеется несколько независимых источников, то при нахождении тока (напряжения) можно найти ток (напряжение), создаваемый каждым из источников в отдельности, а затем полученные токи (напряжения) алгебраически сложить.

Пример 2.6.1

Рассчитайте токи во всех ветвях электрической цепи, схема которой показана на рис. 2.10, используя принцип наложения, если параметры элементов цепи известны:

u01=30 B, i05=1 A, R1=30 Ом, R2=70 Ом, R3=50 Ом, R4=50 Ом.

Сделайте проверку полученного решения по законам Кирхгофа.




Рис. 2.10

Решение

В схеме с двумя источниками на рис. 2.10 стрелками показаны положительные направления токов i1, i2, i3, i4, i01, выбранные произвольно. В схеме показаны узлы 0, 1, 2, 3. К нулевому узлу схемы подключён зажим «–» источника напряжения u01. К узлу 1 подключён зажим «+» источника напряжения u01. Согласно принципу наложения ток ik от двух источников равен алгебраической сумме частичных токов ik’, ik’’ от первого и второго источников в отдельности. Решение задачи состоит из четырёх этапов.


1. Источник напряжения u01 в цепи оставлен, а источник тока удалён (рис. 2.11,а), т.е. имеем обрыв ветви. В схеме с одним источником на рис. 2.11 – источником напряжения с задающим напряжением u01 вычисляем частичные токи i1’, i2’, i3’, i4’, i01’ путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи. Направление частичных токов тоже выбирается произвольно.

В схеме на рис. 2.11,а) резисторы R1 и R2 (R3 и R4) соединены последовательно, так как по ним протекает один и тот же ток i1’=i2’ (i3’=i4’). Заменяем резисторы эквивалентным сопротивлением Rэ1=R1+R2=30+70=100 Ом (Rэ2=R3+R4=50+50=100 Ом) (Рис. 2.11, б).




а) б)

Рис. 2.11

Вычисляем частичные токи, используя закон Ома и первый закон Кирхгофа (ЗТК):

i1’=i2’=u01/Rэ1=30/100=0,3 А; i3’=i4’=u01/Rэ2=30/100=0,3 А; i01’=i2’+i4’=0,6 А.


2. Источник тока i01 в цепи оставлен, а источник напряжения удалён (рис. 2.12,а), т.е. вместо него показано короткое замыкание (провод). В схеме с одним источником на рис. 2.12 – источником тока с задающим током i01 вычисляем частичные токи i1’’, i2’’, i3’’, i4’’, i01’’ путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи.

В схеме на рис. 2.12,а) резисторы R1 и R2 (R3 и R4) соединены параллельно, так как к ним приложено одно и то же напряжение u12 (u31).

Заменяем резисторы эквивалентным сопротивлением Rэ3=R1∙R2/(R1+R2)=2100/100=21 Ом (Rэ4=R3∙R4/(R3+R4)=2500/100=25 Ом) (Рис. 2.12,б). Вычисляем частичные токи, используя закон Ома и первый закон Кирхгофа (ЗТК): uRэ3=i01∙Rэ3=1∙21=21 В; uRэ4=i01∙Rэ4=1∙25=25 В;

i1’’=uRэ3/R1=21/30=0,7 А; i2’’=uRэ3/R2=21/70=0,3 А; i3’’=uRэ4/R3=25/50=0,5 А;

i4’’=uRэ4/R4=25/50=0,5 А; i01’’+i1’’–i3’’=0; i01’’= –i1’’+i3’’= –0,7 + 0,5 = –0,2 А.




а) б)

Рис. 2.12


3. Нахождение истинных токов в ветвях цепи

Истинные токи определяются как алгебраическая сумма частичных токов, т.е. сравниваются направление частичных токов с направлением истинного тока в исходной цепи.

Для ветви 1:

i1 =i1’+i1’’ =0,3+0,7 =1 A.

Для ветви 2:

i2 =i2’–i2’’ =0,3 –0,3 =0 A.

Для ветви 3:

i3 =i3’ –i3’’ =0,3 –0,5 = –0,2 A.

Для ветви 4:

i4 =i4’+i4’’ =0,3+0,5 =0,8 A.

Для ветви 5:

i01 =i01’–i01’’ =0,6+0,2 = 0,8 A.


Ответ представлен в виде таблицы.

Таблица 2.2

i1, A

i2, A

i3, A

i4, A

i01, A

i05, A

u01, B

1

0

– 0,2

0,8

0,8

1

30



4. Проверка решения по законам Кирхгофа.

– i01 + i1 + i3 = –0,8 + 1 – 0,2 = 0; (ЗТК. Узел 1)

– i1 + i05 + i2 = –1 +1 –0 = 0; (ЗТК. Узел 2)

– i05 – i3 + i4 = –1 +0,2 + 0,8 = 0; (ЗТК. Узел 3)

i1∙R1 + i2∙R2 – u01 = 1∙30 + 0∙70 – 30 = 0; (ЗНК)

i3∙R3 + i4∙R4 – u01 = –0,2∙50 + 0,8∙50 – 30 = 0. (ЗНК)



    1. ^ Две схемы замещения генераторов

[1, c.41–44, 55–56; 2, c.35–37, 57–60]

Термин «генератор» означает реальный источник энергии, т.е. источник напряжения или тока с учётом потерь энергии. Поскольку потери энергии, по определению, описываются с помощью резистивного сопротивления, то возможны две схемы генераторов – генератор напряжения и генератор тока. Эти схемы представлены на рис. 2.13.

Если значения внутренних сопротивлений генераторов одинаковы RГН= RГТ = RГ, а задающее напряжение генератора напряжения связано с задающим током генератора тока соотношением uГ = iГ ∙ RГ, то генераторы напряжения и тока считаются эквивалентными, то есть на их зажимах создаются одинаковые напряжения и проходят одинаковые токи при подключении внешней цепи.




а) б)

Рис. 2.13



    1. ^ Метод узловых напряжений

[1, c.63–68, 72–73; 2, c.53–57]

В данном методе переменными или неизвестными системы уравнений анализируемой цепи являются узловые напряжения U ,U, U, … UNу, т. е. напряжения, равные разности потенциалов K-го и базисного узла. Потенциал базисного узла принимается равным нулю (U).

Для цепи, имеющей N = Nу – 1 независимых узлов, каноническая форма записи системы узловых уравнений имеет вид:

+ G11∙U – G12∙U – G13∙U – … – G1N∙UNу = I,

– G21∙U + G22∙U – G23∙U – … – G2N∙UNу = I,

. . . . . . . . . . . . . .

– GN1∙U – GN2∙U – GN3∙U – … + GNN∙UNу = INу.

В данной системе узловых уравнений GNN – собственная проводимость N-го узла цепи – арифметическая сумма проводимостей всех ветвей, подключённых одним из зажимов к N-му узлу цепи. Собственные проводимости в системе узловых уравнений записываются со знаком «плюс». GKN = GNK – взаимная проводимость K-го и N-го узлов цепи – сумма проводимостей всех ветвей, включённых между K-м и N-м узлами цепи. Взаимные проводимости в системе узловых уравнений записываются со знаком «минус».

IKу – узловой ток K-го узла цепи – алгебраическая сумма задающих токов источников тока, подключённых к K-му узлу цепи, причём слагаемые этой суммы берутся со знаком «плюс», если задающий ток источника ориентирован в сторону K-го узла, и со знаком «минус» – в противном случае. В результате решения системы узловых уравнений определяются неизвестные узловые напряжения UKу. Пусть в цепи направление тока i показано стрелкой от узла N к узлу M и между узлами N и M ветвь содержит только один резистор R. Тогда ток i вычисляется в ветви по формуле

i = (UNу – UMу)/R = (UNу – UMу) ∙ G


Пример 2.8.1

Для цепи на рис. 2.14 методом узловых напряжений определить все токи, если u01=3 B; u06=5 В; i03=2 A; R2 = R4 = R5 = R6 = 1000 Ом.

Сделайте проверку полученного решения по законам Кирхгофа.



Рис. 2.14


Решение

Если рассчитываемая цепь содержит ветвь, состоящую только из источника напряжения, то в качестве базисного узла следует выбирать зажим ветви, к которому подключён этот источник напряжения. Узловое напряжение базисного узла принимается равным нулю, то есть U=0. Пронумеруем все узлы 0, 1, 2, 3 так, как показано на рис. 2.14.

Поскольку узловым напряжением называется разность потенциалов между неким узлом цепи и базисным узлом, то напряжение узла 1 совпадает с напряжением источника напряжения u01, то есть U=u01=3 В. Для оставшихся узлов 2 и 3 нужно составить узловые уравнения.

Для узла 2:

 ∙ u01 + ( +  ) ∙ U ∙ U = i03.

Для узла 3:

 ∙ u01 ∙ U – ( +  + ) ∙ U = .

Слагаемое в правой части последнего уравнения явилось следствием замены схемы генератора напряжения u06 в ветви u06 – R6 на генератор тока i06= в этой ветви.

Заменим u01, u06, i03, R2, R4, R5, R6 численными значениями.

–0,003 + 0,002∙U – 0,001∙U = 2,

–0,003 – 0,001∙U + 0,003∙U = 0,005.

Умножим уравнения на 1000 и перенесём числа в правую часть.

2∙U – U = 2003,

–U + 3∙U = 8.

Решение системы уравнений: U = 1203,4 B; U = 403,8 B.

Для нахождения токов в ветвях задаём (произвольно) положительные направления отсчёта этих токов (рис. 2.14).

Тогда, используя закон Ома, получаем:

i2 = (U – U )/R2 = (3 –1203,4)/1000 = –1,2004 А ;

i4 = (U – U )/R4 = (1203,4 –403,8)/1000 = 0,7996 А ;

i5 = (U – U)/R5 = (403,8 –0)/1000 = 0,4038 А ;

i6 = (U – U )/R6 + u06/R6= (3 –403,8)/1000 + 0,005 = –0,3958 А.

Ток i1 через источник напряжения вычисляем по первому закону Кирхгофа. Для нулевого узла схемы имеем: i1 + I03 – i5 =0. Тогда ток равен

i1 = i5–I03 = 0,4038 –2 = –1,5962 А.

Ответ представлен в виде таблицы.

Таблица 2.3

i1, A

i2, A

i4, A

i5, A

i6, A

i03, A

u01, B

u06, B

–1,5962

–1,2004

0,7996

0,4038

–0,3958

2

3

5



Проверка решения по законам Кирхгофа.

–i1 + i2 + i6 = 1,5962 –1,2004 –0,3958 = 0;

–i03 –i2 + i4 = –2 + 1,2004 + 0,7996 = 0;

–i4 –i6 + i5 = –0,7996 + 0,3958 + 0,4038 = 0;

i2∙R2 + i4∙R4 – i6∙R6 + u06 = –1200,4 + 799,6 + 395,8 +5 = 0;

–u06 + i6∙R6 + i5∙R5 – u01 = –5 –395,8 + 403,8 –3 = 0.


Контрольные вопросы

  1. Какое соединение элементов называется последовательным (параллельным)?

  2. Сформулируйте принцип наложения.

  3. Относительно каких переменных составляются уравнения при решении задачи методом узловых напряжений?

  4. Как записывается каноническая система узловых уравнений?

  5. Сколько независимых уравнений можно составить для цепи по методу узловых напряжений?

  6. Что представляют собой коэффициенты и свободные члены системы узловых уравнений?

  7. Как найти токи в элементах цепи, если известны узловые напряжения?

  8. Какие две схемы замещения генератора с резистивным внутренним сопротивлением Вы знаете?

  9. Когда два генератора можно считать эквивалентными? Как пересчитать генератор с источником напряжения в эквивалентный ему генератор с источником тока и наоборот?



^ 3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАЧИ 2



    1. Гармонические напряжения и токи

[1, c.98–108; 2, c.72–75]

При изучении данного вопроса необходимо обратить внимание на следующее.

Гармонические колебания тока или напряжения могут быть описаны одной из функций

i(t) = Im ∙cos(ωt + ѱ),

i(t) =Im ∙sin(ωt + ϴ).

Обе записи равноправны, однако при решении задач следует придерживаться какой-либо одной из них. Мы будем пользоваться первой.

Наибольшее по абсолютному значению отклонение колеблющейся величины называется её амплитудой и обозначается Im (Um). Наименьшее значение времени, после которого процесс полностью повторяется (время одного цикла колебания), называется периодом колебания Т (рис. 3.1). Число циклов колебания в единицу времени называется циклической частотой колебания f или просто частотой. Частота измеряется в герцах (Гц). Число циклов колебания в интервале, равном 2π единицам времени, называется угловой частотой ω, ω = 2πf = 

Величина (ωt + ѱ) называется фазой колебания. Значение фазы колебания в момент времени t = 0 называется начальной фазой колебания.

Действующим значением любого периодического тока (напряжения) называется его среднеквадратичное значение за период T

 




Рис. 3.1


Действующие значения гармонического тока (напряжения) в  раза меньше его амплитуды, т.е.

I =  U =  .

Измерительные приборы теплового действия показывают действующие значения токов и напряжений.

Амплитуды гармонического напряжения и тока на любом пассивном элементе линейной электрической цепи связаны прямой пропорциональной зависимостью следующего вида:

UmR = R∙ImR, UmL = ωL∙ImL, UmC =  ∙ ImC.

На резистивном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе (рис. 3.2,а). Гармонические колебания в индуктивности отстают по фазе от колебаний напряжения на угол π/2 (рис. 3.2, б), а колебания тока в ёмкости опережают колебания напряжения на угол π/2 (рис. 3.2,в).



а) б) в)

Рис. 3.2

Если мгновенное значение тока в цепи с резистивным сопротивлением, индуктивностью или ёмкостью изменяется по закону i(t)=Im∙cos(ωt+ѱ), то напряжения на этих элементах будут следующими:

uR(t) = ImR∙R∙cos(ωt + ѱ),

uL(t) = ImL∙ωL∙cos(ωt + ѱ + π/2),

uC(t) = ImC ∙ cos(ωt + ѱ – π/2).

Мгновенная мощность гармонических колебаний в общем случае, когда ток и напряжение сдвинуты по фазе на некоторый угол ϕ=ѱu – ѱi, определяется по формуле:

p(t) =u(t)∙i(t) =Um∙cos(ωt+ѱu)∙Im∙cos(ωt+ѱi) =U∙I∙cos(ϕ) + U∙I∙cos(2ωt+ѱui).

Средняя мощность равна

P = Pср =   = U∙I∙cos ϕ.

Для резистивного сопротивления ϕ=0 и Pср=UR∙IR=IR2∙R, для индуктивности ϕ=π/2 и Pср =0, для ёмкости ϕ= –π/2 и Pср =0. Это говорит о том, что резистивное сопротивление непрерывно потребляет энергию и необратимо преобразует её в другие виды энергии, тогда как реактивные элементы часть периода накапливают энергию, а часть – отдают обратно в цепь. На рис. 3.3,а,б,в приведены временные диаграммы мгновенных мощностей. Когда мгновенная мощность положительна, элемент цепи потребляет энергию (накапливает её или рассеивает), когда отрицательна – возвращает запасённую энергию во внешнюю цепь.




а) б) в)


Рис. 3.3


Гармонические колебания равных частот в одной и той же цепи изображают на плоскости в виде некоторой диаграммы. На ней в полярной системе координат каждому колебанию соответствует радиус-вектор, длина которого в выбранном масштабе пропорциональна амплитуде колебания, а полярный угол равен начальной фазе колебания.

На рис.3.4,а,б,в приведены векторные диаграммы, соответствующие временным диаграммам гармонических колебаний на резистивном сопротивлении, индуктивности и ёмкости, представленным на рис. 3.2.




а) б) в)

Рис. 3.4


1   2   3   4   5



Похожие:



Если Вам понравился наш сайт, Вы можеть разместить кнопку на своём сайте или блоге:
refdt.ru


©refdt.ru 2000-2013
условием копирования является указание активной ссылки
обратиться к администрации
refdt.ru