Формула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли



Скачать 138.73 Kb.
НазваниеФормула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли
Дата18.03.2013
Размер138.73 Kb.
ТипДокументы
источник

§3. Формула полной вероятности. Повторные испытания. Формула Бернулли.

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии наступления одного из несовместных событий , , … , которые образуют полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Пусть известны вероятности этих событий (гипотез) и условные вероятности события А при условии наступления каждого из них. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.


Теорема 1(формула полной вероятности). Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии наступления одного из попарно несовместных событий , , … , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

P(A) = P() ∙ (A) + P() ∙ (A) + … + P() ∙ (A).

Замечание 1. Следствием формулы полной вероятности является формула Байеса (по имени английского математика, который её вывел; опубликована в 1764 г.). Она позволяет переоценить вероятность гипотезы , принятую до опыта, по результатам уже проведённого опыта, то есть вычислить условную вероятность гипотезы  при условии наступления события А.

Теорема 2 (формула Байеса или теорема гипотез). Пусть попарно несовместные события , , …,  образуют полную группу. Тогда условная вероятность события (i = ) при условии, что событие А наступило, задаётся формулой:


() =  = 

Повторные испытания. Формула Бернулли.

Если производится несколько испытаний, причём вероятность наступления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Мы будем рассматривать такие независимые испытания, в которых события А имеют одну и ту же вероятность.

Теорема 3 ( формула Бернулли). Пусть в серии из n одинаковых независимых испытаний в каждом испытании может наступить либо событие А с вероятностью p, либо событие  с вероятностью

q = 1 – p. Тогда вероятность (m) того, что в этой серии испытаний событие А наступит ровно m раз (m ≤ n), вычисляется по формуле Бернулли:

(m) =  , где  = 

Формулы Лапласа.

Эти формулы дают приближенное значение вероятности наступления события А определённое число раз в серии из n независимых испытаний, если число n достаточно велико. Пусть p ( 0 < p < 1) – вероятность события А в каждом испытании, q = 1 – p – вероятность события .

Теорема 4 (локальная формула Лапласа). Вероятность (m) наступления события А равно m раз в серии из n одинаковых независимых испытаний приближённо вычисляется по формуле Лапласа:

(m)  ∙ φ(), где φ x)= 

Замечание 2. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции φ(x)=  , соответствующие положительным значениям аргумента x. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция φ(x) является чётной, т.е. φ(-x) = φ(x).

Замечание 3. Формула Лапласа тем точнее приближает формулу Бернулли, чем больше число n (более нескольких десятков) и n∙p > 10.

Теорема 5 (интегральная формула Лапласа). Вероятность (, ) того, что событие А наступит от  до  раз в серии из n одинаковых независимых испытаний приближённо вычисляется по формуле Лапласа: (, )  Ф () – Ф(), где Ф(х) = dt. 

Замечание 4. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции Ф(х) при 0 ≤ х ≤ 5. При х < 0 пользуются теми же таблицами, так как функция Ф(х) является нечётной, т.е. Ф(-х) = - Ф(х). Для х > 5 можно считать Ф(х) = 0,5.

Формула Пуассона.

Теорема 6 (формула Пуассона). Пусть р – вероятность наступления события А в каждом испытании. Тогда вероятность (m) наступления события А равно m раз в серии из n одинаковых независимых испытаний приближённо вычисляется по формуле Пуассона:

(m)  , где λ = np.

Замечание 5. Формула Пуассона тем точнее, чем меньше p и больше число n (более нескольких сотен), причём n ∙ p < 10.


Задачи с решениями.


Задача 1. В первой коробке находится 20 деталей, из них 18 стандартных, во второй коробке – 10 деталей, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята одна деталь и переложена в первую коробку. Какова вероятность того, что деталь, наудачу извлечённая после этого из первой коробки, окажется стандартной?

Решение. Обозначим события:

А – из первой коробки извлечена стандартная деталь.

- из второй коробки в первую переложена стандартная деталь.

 - из второй коробки в первую переложена нестандартная деталь.

Событие А может наступить при условии наступления одного из событий , . Эти события несовместны и образуют полную группу, то есть являются гипотезами в формуле полной вероятности. Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная деталь, Р() = .

Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная деталь, Р() = .

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная деталь, (A) = .

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная деталь, (A) = .

Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная деталь, по формуле полной вероятности равна: P(A) = P() ∙ (A) + P() ∙ (A) =  +  = 0,9.

Ответ: 0,9.

Задача 2. Два станка производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого станка в два раза больше производительности второго станка. Первый производит 60% деталей высшего сорта, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась высшего сорта. Какова вероятность того, что эта деталь произведена на первом станке?

Решение. Обозначим события:

А –деталь, взятая с конвейера, оказалась высшего сорта.

Это событие наступит с одним из двух событий (гипотез):

- эта деталь произведена на первом станке,

 - эта деталь произведена на втором станке.

Поскольку производительность первого станка в два раза больше производительности второго станка, вероятности гипотез равны: P()=  , P()=  .

Условные вероятности события А даны: (A) = 0,6 , (A) = 0,84.

По формуле полной вероятности находим:

P(A) = P() ∙ (A) + P() ∙ (A) =  ∙ 0,6 +  ∙ 0,84 = 0,68.

По формуле Байеса найдём условную вероятность того, что взятая наудачу деталь высшего сорта произведена на первом станке:

()=  = =  .

Ответ:  .

Задача 3. В ящике 20 белых и 10 чёрных шаров. Поочерёдно извлекают 4 шара, причём каждый извлечённый шар возвращают в ящик перед извлечением следующего. Какова вероятность того, что среди четырёх извлечённых шаров окажется два белых?

Решение. Вероятность извлечения белого шара одна и та же во всех четырёх испытаниях, так как каждый извлечённый шар возвращается в ящик:

p =  = .

Тогда вероятность извлечения чёрного шара во всех четырёх испытаниях равна q = 1 – p =  .

Используя формулу Бернулли, находим вероятность того, что из четырёх извлечённых шаров два шара будут белыми: (2) =  = ∙ () 2 ∙ ()2= 6 ∙  =  .

Ответ: .

Задача 4. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз?

Решение. По условию задачи n=100, m=75, p=0,8, q= 1 - p=0,2.

Так как n – достаточно большое число, воспользуемся локальной формулой Лапласа:

(m)  ∙ φ(),

 (75)  ∙ φ() =  ∙ φ() =  ∙ φ() =  ∙ φ(1,25).

В таблице значений функции φ(x)=  находим φ(1,25) = 0,1826.

Следовательно, (75)  ∙ 0,1826 = 0,04565.

Ответ: 0,04565.

Задача 5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена

а) не менее 75 раз и не более 90 раз?

б) не менее 75 раз?

в) не более 74 раз?

Решение. Воспользуемся интегральной формулой Лапласа:

(, )  Ф () – Ф(), где Ф(х) = dt – функция Лапласа.

а) По условию задачи n= 100, p=0,8, q= 0,2, = 75, = 90.

Тогда, воспользовавшись таблицей значений функции Ф(х), получаем:

 (75; 90)  Ф () – Ф() = Ф() – Ф() = Ф(2,5) + Ф(1,25) = 0,4938 + 0,3944 = =0,8882.

б) Требование того, чтобы событие наступило не менее 75 раз, означает следующее: число появлений события может быть равно либо 75, либо 76, … , либо 100.

Тогда следует принять  = 75,  =100. Воспользовавшись таблицей значений функции Лапласа Ф(х), получаем:  (75; 100)  Ф () – Ф() = Ф(5) – Ф(-1,25) = Ф(5) + Ф(1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.

в) Событие “мишень поражена не более 74 раз” и событие “мишень поражена не менее 75 раз” являются противоположными. Поэтому сумма их вероятностей равна 1. Следовательно, искомая вероятность  (0; 74)= 1-  (75; 100)= 1- 0,8944 = 0,1056.

Ответ: а) 0,8882;

б) 0,8944;

в) 0,1056.

Задача 6. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что один учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Какова вероятность того, что тираж содержит 5 бракованных книг?

Решение. По условию задачи n= 100000, p= 0,0001.

События “из n книг равно m книг сброшюрованы неправильно”, где m=0,1,2, … ,100000, являются независимыми. Так как число n велико, а вероятность p мала, вероятность (m) можно вычислить по формуле Пуассона: (m)  , где λ = np.

В рассматриваемой задаче λ = 100000 ∙ 0,0001 = 10. Поэтому искомая вероятность (5) определяется равенством  (5) =  = 0,0375.

Ответ: 0,0375.

ЗАДАЧИ


3.1. В первой урне 2 белых шара и 4 черных, во второй – 3 белых и 5 черных. Из первой урны во вторую перекладывают один шар. Какова вероятность того, что шар, извлеченный после этого из второй урны, окажется белым?


3.2. В первом ящике 5 стандартных деталей и 3 нестандартных, во втором – 8 стандартных и 1 нестандартная. Из первого ящика во второй переложена одна деталь. Какова вероятность того, что деталь, извлеченная после этого из второго ящика, окажется нестандартной?


3.3. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Какова вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, белый?


3.4. В первом пакете находятся 2 пирожка с рисом и 6 пирожков с капустой, во втором пакете – 4 пирожка с рисом и 3 пирожка с капустой. Из каждого пакета вынули по одному пирожку, а оставшиеся пирожки переложили в третий пакет, из которого после этого вынули пирожок. Какова вероятность того, что из третьего пакета вынут пирожок с капустой?


3.5. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы 4 участника, из второй - 6, из третьей -5. Вероятности того, что студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную университета, соответственно равны 0,9 , 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнований попал в сборную университета. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?


3.6. Изделия проверяются на стандартность одним из двух контролеров. К первому контролеру попадает 40% всех изделий, ко второму – 60%. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым контролером, равна 0,8, а вторым – 0, 95. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Какова вероятность того, что изделие проверял первый контролер?


3.7. Баскетболист бросает мяч три раза. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Какова вероятность того, что он попадет

a) один раз?

б) хотя бы один раз?


3.8. При передаче сообщения вероятность искажения знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков

а) не будет искажено?

б) будет содержать 3 искажения?


3.9. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника

а) три партии из четырех или пять из восьми?

б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?


3.10. Какова вероятность того, что четырехзначный номер первой встретившейся автомашины

а) не содержит цифры 5?

б) содержит две пятерки?


3.11. В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Какова вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые? (Новым считается мяч, ни разу не побывавший в игре).


3.12. В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием «L», 30% - с заболеванием «M», 20 % - с заболеванием «N». Вероятность полного излечения от болезни «L» равна 0,7, от болезни «M» - 0,8, от болезни «N» - 0,9. Больной , поступивший в больницу, был выписан с диагнозом – здоровый. Какова вероятность того, что этот больной страдал заболеванием «L»?


3.13. В цехе 3 типа автоматических станков производят одни и те же детали. Производительность у станков одинаковая, но качество работы различное. Известно, что станки первого типа производят 90 % деталей высшего сорта, второго типа - 80%, третьего типа – 85%. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь высшего сорта произведена станком первого типа, если станков первого типа 10 штук, второго - 8 штук и третьего – 2 штуки?


3.14. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем 2/5 сигналов «точка» и 1/3 сигналов «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» содержатся в отношении 5:3. Какова вероятность того, что принят неискаженный сигнал?


3.15. На распределительной базе находятся электрические лампочки, произведенные двумя заводами. Среди них 70% - первого завода и 30% - второго завода. Известно, что из каждых 100 лампочек первого завода 90 штук удовлетворяют требованиям стандарта, а из 100 лампочек второго завода удовлетворяют стандарту 80 штук. Какова вероятность того, что взятая наудачу с базы лампочка будет удовлетворять требованиям стандарта?


3.16. На двух станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,92 , на втором - 0,8. Изготовленные на обоих станках не рассортированные детали находятся на складе. Среди них деталей, изготовленных на первом станке, в 3 раза больше, чем деталей, изготовленных на втором. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь высшего качества?


3.17. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытаний одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии деталей бракованные, а в двух других – все доброкачественные?


3.18. Установлено, что в среднем 0,5% шариков, изготовленных для подшипников, оказываются бракованными. Какова вероятность того, что среди поступивших на контроль 10 000 шариков бракованными окажутся 50 штук?


3.19. При установившемся технологическом процессе происходит 10 обрывов нити на 100 веретенах в час. Какова вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити?


3.20. По данным технического контроля в среднем 2% изготавливаемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Какова вероятность того, что из 300 изготовленных часов 290 штук не будут нуждаться в дополнительной регулировке?


3.21. Проверкой качества изготавливаемых на заводе часов установлено, что в среднем 98% их отвечает предъявляемым требованиям, а 2% нуждаются в дополнительной регулировке. Приемщик проверяет качество 300 штук изготовленных часов. Если при этом среди них обнаруживается 11 или более часов, нуждающихся в дополнительной регулировке, вся партия возвращается заводу для доработки. Какова вероятность того, что партия будет принята?


3.22. В результате проверки качества приготовленного для посева зерна было установлено, что 90% зерен всхожие. Какова вероятность того, что среди отобранных и высаженных 1000 зерен прорастет

а) не менее 700 штук?

б) от 700 до 740 штук?

в) от 880 до 920 штук?


    1. Вероятность выпуска нестандартной электролампы равна 0,1. Чему равна вероятность того, что в партии из 2000 ламп

а) число стандартных будет не менее 1790 штук?

б) число нестандартных будет менее 201 штуки?


    1. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом №1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом №2.Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 – 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Какова вероятность того, что извлечена стандартная деталь?




    1. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных , во второй – 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьей – 10 деталей, из них 6 стандартных. Какова вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу выбранного ящика – стандартная?




    1. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Какова вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно приставить к первой?


Ответы


3.1. 3.2.


3.3. 3.4.


3.5. , , => второй 3.6.


3.7. а) 0,189, 3.8. а) 0,910 0,35,

б) 0,973 б) 0,12 ∙ 0,970,057

3.9. а) ; (p1>p2) 3.10. а) 0,6561

б) ; (p2>p1) б) 0,0486

3.11.  0,089 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 0,87 3.16. 0,89


3.17. 3.18. 0,057


3.19. 0,139 3.20. 0,042


3.21. 0,9438

3.22. а) 1 3.23. а) 0,7732

б) 0 б) 0,5279

в) 0,9651

3.24. 0,84 3.25.

3.26.


Добавить документ в свой блог или на сайт


Похожие:



Если Вам понравился наш сайт, Вы можеть разместить кнопку на своём сайте или блоге:
refdt.ru


©refdt.ru 2000-2013
условием копирования является указание активной ссылки
обратиться к администрации
refdt.ru