Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами icon

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами

Реклама:



Скачать 154.84 Kb.
НазваниеЛинейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами
Дата07.06.2013
Размер154.84 Kb.
ТипЗадача
источник
1. /2sem_difur/Diff_eq_perv_por.doc
2. /2sem_difur/Diff_eq_perv_v_poln_diffefen.doc
3. /2sem_difur/Tipovoi_ras_differets_eq.doc
4. /2sem_difur/lin_diff_eq_perv_por.doc
5. /2sem_difur/lin_diff_eq_vyisshih_por.doc
6. /2sem_difur/lin_odnor_diff_eq.doc
7. /2sem_difur/metod_ukaz_dla_tip_ras_different_eq.doc
8. /2sem_difur/metod_variacii_proizv.doc
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Н. Д. Голубева обыкновенные дифференциальные уравнения задания для типового расчета Самара 2006
Линейные уравнения. Уравнения Бернулли
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами
Методические указания по выполнению расчетного задания
Рассмотрим подробнее метод вариации произвольных

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами


Дифференциальное уравнение порядка п (п > 1) имеет вид

(1)

где по-прежнему x - независимая переменная, у - искомая функ­ция. Всякая функция , определенная и п раз дифферен­цируемая в промежутке (а, b), называется решением этого урав­нения, если она обращает его в тождество.

Задача Коши. Задача Коши для дифференциального уравне­ния (1) порядка п ставится так:

Найти такое решение дифференциального уравнения, чтобы оно само и его производные до порядка (п-1) включительно при заданном значении аргумента принимали бы заданные значения, т. е. чтобы это решение удовлетворяло условиям:

, (2)

где и - заданные числа, которые назы­ваются начальными данными или начальными условиями. Число называется начальным значением независимой переменной, а числа - начальными значениями решения и его производных.

Отличительной особенностью задачи Коши является то, что значения, как искомой функции, так и всех ее производных до порядка (n-1) включительно задаются при одном и том, же значении независимой переменной.

Решение уравнения (1) имеет в своем составе n произволь­ных постоянных и имеет вид

.

Если произвольные постоянные в это решение входят так, что задачу Коши можно решить при любых начальных условиях, то оно называется общим.

Краевая задача. Задача интегрирования уравнения (1) назы­вается краевой, если значения искомой функции у и, возможно, ее производных задаются не при одном и том же значении неза­висимой переменной, как это делается в задаче Коши, а на кон­цах некоторого фиксированного интервала. В общих случаях значения искомой функции или ее производных могут задаваться более чем в двух точках.

Отметим, что краевая задача не всегда имеет решение, а если она его и имеет, то оно во многих случаях не является един­ственным.

1. Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную

Эти уравнения имеют вид

Е
сли удается это уравнение разрешить относительно , то оно записывается так:

(4)

Общее решение уравнения (4) имеет вид

(5)

Из этого видно, что для получения общего решения уравне­ния (4) нужно п раз проинтегрировать функцию и при­бавить к полученному результату многочлен от степени (п - 1), коэффициентами которого являются произвольные постоянные.

Если задача Коши решается для уравнения (4) с началь­ными условиями (2), то частное решение уравнения (4) имеет вид

(6)

Рассмотрим случай дифференциального уравнения вида (3), когда решить его относительно затруднительно или просто невозможно.

В этом случае полагают, что

; (7)

Функции и должны обращать уравнение (3) в тождество.

Дифференциал производной порядка : , а из (7) следует, что и поэтому .

Интегрируя, получаем

.

Теперь рассмотрим

, и снова интегрируя, получим

и т.д.

В итоге получиться, что и решение уравнения (3) представиться в виде ;.

Иногда выгодно принять параметр равным , т.е.

(8)

2.Уравнения, не содержащие искомой функции

Уравнения порядка n, не содержащие искомой функции, имеет такой вид

(9)

Порядок его может быть понижен на единицу с помощью под­становки

(10)

где - новая искомая функция.

Эта подстановка приводит к уравнению . Если уравнение (9) не содержит ни искомой функции y, ни ее производных до порядка (k-1) включительно, т. е. имеет вид

(11)

то его порядок может быть понижен на k единиц при помощи подстановки

, (12)

где - низшая из производных.

После определения функции уравнение (11) оказы­вается приведенным к уравнению, порядка n-k , вида

, (13)

Интегрирование, которое разобрано выше (см. первый тип).

К этому же типу уравнений относятся и такие, которые содер­жат только две последовательные производные, т. е. уравнения вида

(14)

Если это уравнение можно решить относительно , то оно принимает вид

(15)

и интегрируется постановкой

, (16)

которая приводит к уравнению .

Определив из этого уравнения функцию и подставив ее
в (16), придем к уравнению вида (3).

3. Уравнения, не содержащие независимой переменной

Эти уравнения имеют в общем случае такой вид:

(17)

Понижение порядка на единицу достигается подстановкой , где - новая искомая функция. В этом случае за независимую переменную принимается не х, а у. Поэтому вторая и последующие производные должны быть преобразованы так, чтобы независимой переменной был у:

(18)

так как ;

(19)

и т. д.

Поэтому уравнение (17) перепишется так:

Если удастся найти общее решение этого уравнения, то оно будет иметь вид .

Так как , то (17) - уравнение первого порядка, из которого определится искомая функция у.

Если уравнение (17) имеет вид

(20)

и его удается разрешить относительно у" так, что

(21)

то интегрирование, кроме указанного приема, можно провести так: умножим обе его части на и приведем уравнение к виду

(22)

Левая часть этого уравнения , а в правой части , поэтому (22) перепишется так:

.

Отсюда следует, что .

Последнее уравнение допускает разделение переменных. Про­интегрировав его, найдем

т. е. определим х, как функцию у.

Следует отметить, что этот прием интегрирования уравнения (20) не дает ничего существенно нового по сравнению с ука­занным общим приемом замены у" по формуле (18).

К уравнениям вида (20) приводятся также и уравнения вида ,

содержащие только две производные, порядки которых отличаются на две

единицы. В этом случае применяется подстановка .

4. Уравнения вида .

(23)

Уравнение такого типа допускает понижение порядка на единицу при замене (24), откуда следует или , где - новая неизвестная функция. Так же можно использовать подстановку (25), и , где - новая неизвестная функция.

Задачи

Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Это уравнение содержит производную второго порядка и независимую переменную, т. е. относится к первому типу уравнений высших порядков. Уравнение решается двукратным интегрированием.

Так как , то , , откуда интегрируя находим .

Интегрируя еще раз, получим:

.

Ответ: .


Задача 2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Это уравнение содержит производную третьего порядка и независимую переменную, т. е. относится к первому типу уравнений высших порядков. Данное уравнение решается трехкратным интегрированием.

Так как , то , , откуда интегрируя находим .

Интегрируя еще раз, получим:

.

Интегрируя третий раз, находим:

.

Ответ: .

Задача 3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Это уравнение содержит производную второго порядка и независимую переменную. Уравнение решается двукратным интегрированием.

Так как , то , , откуда интегрируя находим .

Интегрируя еще раз, получим:

.

Ответ: .

Задача 4. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение

Найдем общее решение последовательным двукратным интегрированием данного уравнения:

.

Интегрируя еще раз, получим:



.

Воспользуемся начальными условиями , подставляя их в общее решение и :

;

Тогда, искомое частное решение имеет вид:

.

Такое же решение можно найти и следующим образом, используя сразу заданные начальные условия. На основании (6) выполним дважды интегрирование функции каждый раз в пределах от 0 до x ().

Первое интегрирование:

;

Второе интегрирование:



На основании формулы (6), полагая n=2, имеем:

.

Ответ: .

Задача 5. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение

Найдем общее решение последовательным четырехкратным интегрированием данного уравнения:

.

Интегрируя второй раз, получим:



Далее интегрируя, получим:



Итак, общее решение:



Воспользуемся начальными условиями , подставляя их в общее решение и ,, :

;

Тогда, искомое частное решение имеет вид:

.

Ответ: .

Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Найдем общее решение с помощью под­становки (16) понизив его порядок на единицу:

, далее интегрируем

, и снова переходим к исходным переменным, т. е. , находим у двукратным интегрированием:

, последнее выражение еще раз интегрируем: .

Ответ: .

Задача 7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Найдем общее решение с помощью под­становки (8) ,тогда уравнение примет вид .

Параметрическое представление заданного уравнения ;.

Тогда, руководствуясь формулой , получаем , но и поэтому .

Интегрируя, находим



Или .

Теперь умножим обе части уравнения на , получим , но , а и тогда

, интегрируя, находим





.

И общее решение уравнения имеет параметрическое представление:

;

Ответ: ,.


Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Найдем общее решение с помощью под­становки (10), тем самым, понизив его порядок на единицу:

, далее интегрируем

, снова переходим к исходным переменным, т. е. , проинтегрируем последнее выражение: .

Ответ: .

Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Применим под­становку (10), таким образом, понизим его порядок на единицу:

, получили линейное неоднородное уравнение. Примем за и , подставив в уравнение, получим: , откуда следует

, решим первое уравнение системы: , интегрируем .

Решим второе уравнение системы, учитывая, что :

, проинтегрируем:



.

Итак , перейдем к искомым переменным: , интегрируя, получаем

Ответ: .

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

В этой задаче воспользуемся под­становкой (11), таким образом, понизим его порядок на единицу:

, получили уравнение с разделяющимися переменными.

Итак , интегрируя, получим:

, перейдем к переменной у: , решим это уравнение двукратным интегрированием:



или .

Ответ: .

Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

В этой задаче воспользуемся под­становкой (11), таким образом, понизим его порядок на единицу:

, получили уравнение с разделяющимися переменными.

Итак , интегрируя, . Вернемся к переменной у, получим уравнение 4 - го порядка, которое будем решать четырехкратным интегрированием:

;

;

;

.

Или можно записать так .

Ответ: .

Задача 12. Найти частное решение дифференциального уравнения , при начальных условиях: ,.

Решение

Воспользуемся под­становкой (11), таким образом, понизим его порядок на единицу: , получили линейное неоднородное уравнение. Примем за и , подставив в уравнение, получим: , откуда следует

, решим первое уравнение системы: , интегрируем .

Решим второе уравнение системы, учитывая, что :

, проинтегрируем:

.

Итак , перейдем к искомым переменным:

Далее интегрируя, получим:



Итак, общее решение:



Воспользуемся начальными условиям , подставим их в общее решение и :

;и учитывая, что , имеем .

Тогда, искомое частное решение имеет вид:

.

Ответ: .

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

В этой задаче воспользуемся под­становкой , а (18) таким образом, понизим его порядок на единицу и получим:

, получили уравнение с разделяющимися переменными.

Итак , интегрируя, последнее выражение получим: . Вернемся к переменной у, , интегрируем: или .

Ответ: .

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Воспользуемся под­становкой , а (18) таким образом, получим: , это уравнение с разделяющимися переменными.

Итак , интегрируя данное равенство, получим: перейдем снова к переменной у, , проинтегрируем последнее выражение:



Итак, если , то

или .

Если , то

или .

Если , то

или .

Ответ: , если; , если ; , если .

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Воспользуемся под­становкой , а (25) таким образом, получим:

, получили уравнение с разделяющимися переменными.

Итак , интегрируя, в результате получим: перейдем к переменной у, , проинтегрируем последнее выражение:

или .

Ответ: .

Задача 16. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Преобразуем данное выражение , или . Далее воспользуемся под­становкой (24), откуда следует , таким образом, получим: , которое является линейным неоднородным уравнением. Примем за и , подставив в уравнение, получим: , откуда следует

, решим второе уравнение системы: , далее интегрируем .

Решим первое уравнение системы, учитывая, что :

, проинтегрируем:

.

Итак, или

Перейдем к исходным переменным:

, проинтегрируем последнее выражение:

или .

Ответ: .

Диагностическая контрольная работа

Вариант 1


1. Найти общее решение уравнения ;

2. Найти общее решение уравнения.

3. Решить задачу коши при указанных начальных условиях ; .

Вариант 2.

1. Решить задачу коши при указанных начальных условиях . ;;;;.

2. . Найти общее решение уравнения .

3. . Найти общее решение уравнения ;


Вариант 3.

1. Найти общее решение уравнения ;

2. Решить задачу коши при указанных начальных условиях . ;.

3. Найти общее решение уравнения ;

Вариант 4.

1. Найти общее решение уравнения ;

2. Найти общее решение уравнения ;

3. Найти общее решение уравнения ;


Вариант 5

1. Решить задачу коши при указанных начальных условиях . ;.

2. Найти общее решение уравнения ;

3. Найти общее решение уравнения ;

Домашнее задание

1. Теория: « Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. № 4156,4163,4169,4185, 4192,4208,4210,4211.

Добавить документ в свой блог или на сайт


Реклама:

Похожие:

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами icon«Национальный исследовательский ядерный университет «мифи» Озерский технологический институт – филиал нияу мифи
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Однородные...

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами icon1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами iconСпектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности
В настоящей работе осуществлен двойственный переход от задачи спектрального синтеза для бесконечного дифференциального оператора...

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами iconО периодических решенияХ уравнения Бернулли
Кроме того, В. А. Плисс нашел достаточные условия того, чтобы число вещественных периодических решений дифференциального уравнения...

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами iconЛекции 32 час
Дифференциальные уравнения: основные понятия. Дифференциальные уравнения I порядка. Теорема о существовании и единственности решения...

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами icon§6 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Определение 4: функции называются линейно независимыми на интервале I,если в противном случае функции линейно независимые

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами iconАлгебраические уравнения и методы их решения П. 1 Многочлен и его корни
Рассмотрим набор из (n+1) действительных чисел, многочленом (полиномом) степени n с указанными выше коэффициентами называют выражение...

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами iconАннотация рабочей программы по дисциплине «Дифференциальные уравнения» Дисциплина «Дифференциальные уравнения»
Б. 2 дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки 010400 Прикладная математика. Дисциплина реализуется на инженерно-экономическом...

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами iconДифференциальные уравнения. § Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях. Определение 1
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами iconПланы семинарских занятий по дисциплине «Математика» (Дифференциальные уравнения + ряды) 2 курс 3 семестр №
Учебно-тематические планы семинарских занятий по дисциплине «Математика» (Дифференциальные уравнения + ряды)

Линейные однородные дифференциальные уравнения и неоднородные с правой частью определенного вида с постоянными коэффициентами iconИсследование модели проточного культиватора с кубической нелинейностью л. Ж. Паланджянц, О. П. Шевякова Майкопский государственный технологический институт, Майкоп
Перейдем к рассмотрению дифференциального уравнения Абеля с переменными коэффициентами

Если Вам понравился наш сайт, Вы можеть разместить кнопку на своём сайте или блоге:
Документы


©refdt.ru 2000-2013
условием копирования является указание активной ссылки
обратиться к администрации
Документы